数论-辗转相减法-第七届蓝桥杯省赛C++A/B组-最大比例

数论-辗转相减法-第七届蓝桥杯省赛C++A/B组-最大比例

题目:

X星球的某个大奖赛设了 M 级奖励。

每个级别的奖金是一个正整数。

并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。

也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。

比如：16,24,36,54，其等比值为：3/2。

现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。

请你据此推算可能的最大的等比值。

输入格式
第一行为数字 N ，表示接下的一行包含 N 个正整数。

第二行 N 个正整数 Xi，用空格分开，每个整数表示调查到的某人的奖金数额。

输出格式
一个形如 A/B 的分数，要求 A、B 互质，表示可能的最大比例系数。

数据范围
0 012
数据保证一定有解。

输入样例1：
3
1250 200 32
输出样例1：
25/4
输入样例2：
4
3125 32 32 200
输出样例2：
5/2
输入样例3：
3
549755813888 524288 2
输出样例3：
4/1

题意：

$给定一个序列，求去重后的序列作为某公比为r的等比数列的子序列，r的最大值可能是多少。由数据范围知r>1。$

题解：

$与$《等差数列》$类似,求递增序列各项比值之间幂的最大公约数。$

$难点在于公比未必是整数。$

$$\begin{gathered} 我们设公比为r，p、q均为正整数，原序列:a,ar,a{r}^2,...,a{r}^{n-1},每一项均与第一项作商，得到新序列: \\ r,r^2,...,r^{n-1},我们设r=\frac{q}{p},其中p与q互质。 \end{gathered}$$

$那么我们的目标就是求r的最大值$

本题步骤：

$$\begin{gathered} 将原序列先排序去重，再把第二项到最后一项与第一项作商。 \\ 新序列：\frac{q^{a_1}}{p^{b_1}},\frac{q^{a_2}}{p^{b_2}},...,\frac{q^{a_{n-1}}}{p^{b_{n-1}}},设公比\frac{q}{p},则有\frac{q^{a_i}}{p^{b_i}}\times (\frac{q}{p}{)}^s=\frac{q^{a_i+s}}{p^{b_i+s}}为新序列中的项。 \end{gathered}$$

$问题可转化为：求序列a_i和b_i任意两数之间的最大公约数$

辗转相减法：

$gcd(x,y)=gcd(y,x\%y)=gcd(y,x-y)。$

$gcd\_sub(p^x,p^y)=p^{gcd(x,y)}=p^{gcd(y,x-y)}=gcd\_sub(p^y,\frac{p^x}{p^y})$

$求p^x和p^y幂的最大公约数次幂p^{gcd(x,y)}。$
代码：

LL gcd_sub(LL a,LL b)//辗转相减的另一种使用
{
    if(a==b) return a; //这里一定会 出现这种情况的 因为我们的b和a是倍数关系
    if(a>b) return gcd_sub(b,a/b);//我们保证a>b
    else return gcd_sub(b,a); 
}

---

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 110;

int n;
LL a[N], b[N], x[N];

LL gcd(LL a, LL b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

LL gcd_sub(LL a,LL b)//辗转相减的另一种使用
{
    if(a==b) return a; //这里一定会 出现这种情况的 因为我们的b和a是倍数关系
    if(a>b) return gcd_sub(b,a/b);//我们保证a>b
    else return gcd_sub(b,a); 
}

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> x[i];

    sort(x, x + n);
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i < n; i ++ )
        if (x[i] != x[i - 1])
        {
            LL d = gcd(x[i], x[0]);
            a[cnt] = x[i] / d;
            b[cnt] = x[0] / d;
            cnt ++ ;
        }


    LL up = a[0], down = b[0];
    for (int i = 1; i < cnt; i ++ )
    {
        up = gcd_sub(up, a[i]);
        down = gcd_sub(down, b[i]);
    }
    
    cout << up << '/' << down << endl;

    return 0;
}