「NOIP2010」一元三次方程求解 - 分治

题目描述

形如：ax^3+b*x2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a，b，c，d均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。

输入格式

一行，包含四个实数a，b，c，d，相邻两个数之间用单个空格隔开。

输出格式

一行，包含三个实数，为该方程的三个实根，按从小到大顺序排列，相邻两个数之间用单个空格隔开，精确到小数点后2位。

样例输入

1.0 -5.0 -4.0 20.0

样例输出

-2.00 2.00 5.00

分析

这道题其实是分治的一道水题。为了做这道题，先要知道一个知识，对于任意函数$f(x)$在$[a,b]$之间有零点，则$f(a)\times f(b)\le 0$。这也很好证明，因为在$[a,b]$之间有零点，所以$f(a),f(b)$一定异号，所以乘积一定小于$0$。其实，它的逆命题也是成立的，这样就可以根据这个判断$[a,b]$之间有没有零点。然后进行二分就行了。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
double a,b,c,d;
double f(double x) {
	return x*x*x*a+x*x*b+x*c+d;
}
void Find(double l,double r) {
	if (r-l<0.005) {
		printf("%.2lf ",l);
		return;
	}
	double mid=(l+r)/2;
	if (f(mid)==0) {
		printf("%.2lf ",mid);
		return;
	}
	if (f(mid)*f(l)<0) Find(l,mid);
	else if (f(mid)*f(r)<0) Find(mid,r);
}
int main() {
	scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);
	for (double i = -100;i < 100;i++) {
		if (f(i)==0) {
			printf("%.2lf ",i);
			continue;
		}
		if (f(i)*f(i+1)<0) Find(i,i+1);
	}
	return 0;
}