图论基础

图概述

图(Graph)是一种比线性结构和树形结构都要复杂的数据结构。简单讲，图是由表示数据元素的的集合V和表示数据之间关系的集合E组成。其中，数据元素常称作顶点(vertex)，数据之间的关系常称作边(edge)。故图可记为G=，其中V是顶点的有穷非空集合，E是边的集合。在图中顶点的前驱和后继是不设限制的，因此图描述的是一种网状关系。

无向图

若边是无序的或者说是无向的，则称此图是无向图。若无向图中有边(vi,vj)(无向图中边用圆括号表示)，则显然(vj,vi)和(vi,vj)是同一条边。

有向图

若边是有序的或者说是有向的，则称此图是有向图。若有向图中有边i,vj>(有向图中边用尖括号表示)，则显然j,vi>和<vi,vj>不是同一条边。有向图中的边也称为弧(arc)，对于弧i,vj>，vi是弧尾(边的起点)，vj是弧头(边的终点)。

示例图

无向图 G1=1,E1> V1={v0,v1,v2,v3,v4} E1={(v0,v1),(v0,v2),(v1,v3),(v2,v3),(v2,v4),(v3,v4)}

有向图 G2=2,E2> V2={v0,v1,v2,v3} E2={0,v1>,0,v2>,2,v0>,2,v3>,3,v0>}

图的存储

所谓的图的存储，主要是想从存储结构中表达各顶点之间的联系，也就是表现图中的边。因为顶点总是很好存储的，如最常见的一维数组存储边：

顶点

v0

v1

v2

v3

v4

或者是

A

B

C

D

E

邻接矩阵(adjacency matrix)和邻接表(adjacency list)是图的两种常见存储方式。

如上，无向图G1，对于顶点Vi和顶点Vj，若有边，则(Vi,Vj)=1，否则(Vi,Vj)=0。显然(Vi,Vi)=0，此时的邻接矩阵如下：

	V0	V1	V2	V3	V4
V0	0	1	1	0	0
V1	1	0	0	1	0
V2	1	0	0	1	1
V3	0	1	1	0	1
V4	0	0	1	1	0

显然，由于是无向图，该矩阵是对称的。邻接矩阵所需的存储空间的大小与边数无关，而与顶点数有关。它所需的空间复杂度是O(n^2)，n是顶点数。

同样的，若是使用邻接表来存储无向图G1，邻接表如下：

邻接表实质就是链式存储。

对于有权图，在邻接矩阵中只需把1改为为相应的权值即可，在邻接表中顶点结构体则需添加成员表示权值。

常用概念

1. 顶点的度(degree)：与顶点关联的边的数目，记为D(v)。特别的，在有向图中，把顶点v作为终点的弧的数目是入度(in degree)，记为ID(v)；把顶点v作为起点的弧的数目是出度(out degree)，记为OD(v)。显然，D(v)=ID(v)+OD(v)。
2. 顶点v1和顶点v2若是有边相连的，则称它们是相邻的(adjacent)。
3. 用n表示顶点数，e表示边数。则无向图中e是[0,n(n-2)/2](update:正确的是[0,n(n-1)/2])；有向图中e是[0,n(n-1)]。
4. 边数较少的图称为稀疏图(sparse graph)，边数较多则称为稠密图(dense graph)。
5. 完全图：任意两个顶点之间都有边相关联的是完全图。完全图中边数达到最大。细分为无向完全图和有向完全图。
6. 有时边是带有权值的，这个权值可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离、代价、耗费等。这样的图也称为带权图。
7. 子图：设G=是一个图，V1是V的子集，E1是E的子集，且E1中的边只与V1中的顶点有关，则称G1=1,E1>是G的的子图(subgraph)。
8. 路径：在无向图中顶点序列：vi,vj,…,vk，且相邻两顶点之间是有边的，则这个序列构成一条路径。在有向图中，构成路径的不仅是要有边，而且边的方向正确：只能是起点到终点。
9. 简单路径：路径中不存在重复顶点，则是简单路径(simple path)。
10. 环：在一条路径中，只有第一个顶点和最后一个顶点相同，这条路径就是环(cycle)或回路。
11. 路径长度：路径上边的数目。
12. 无环图：没有环的图(acyclic graph)。在有向图中，那就是有向无环图。
13. 在无向图中，若顶点vi和vj是有路径的，则称vi和vj是连通的(connected)。若图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。
14. 连通分量：无向图中的极大连通子图。(所谓的极大是指再加入任意一个顶点，则不连通)
15. 在有向图中，任意两个顶点之间都有一条有向的路径，则称该有向图是强连通图。
16. 强连通分量：有向强连通的极大子图称为有向图的强连通分量或强连通分支。

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