我在前面介绍了线段树的点更新，现在讲解一下区间更新
区间更新与点更新不同，它需要更深层次的理解，我讲一下最为基本的Add(L, R, V)与Query(L,R)系列，然后以此为基础可以衍射出其他各种做法：例如Set(L, R, V)系列就是其衍射品，Set系列更改的就是在查询的时候读取到Lazy标记就立刻返回，而Add系列不同，他要一直往下读它的Lazy标记。
首先，建树就不说了，跟点标记一样（因为建树又不用改变什么）。
先上一下往下更新的Pushdown操作代码：
void pushdown(int rt,int l,int r) //非永久性标记，向下递归
{
if(lazy[rt])
{
ll le = (r+l>>1)-l+1; //左子树长度
ll re = r-l+1-le; //右子树长度
lazy[rt<<1] += lazy[rt];
lazy[rt<<1|1] += lazy[rt];
sum[rt<<1] += lazy[rt]*le;
sum[rt<<1|1] += lazy[rt]*re;
lazy[rt] = 0; //清空
}
}
查找：我们如果从根结点开始往下查找符合区间的点，那么就要排除那些（ql，qr）区间之外的点，但如果此时的根节点范围过大，又有Lazy标记，那么就得同时把Lazy标记往下移动了。
代码：
ll query(int l,int r,int rt,int ql,int qr) //查找函数（求和sum）
{
if(ql<=l&&qr>=r) return sum[rt];
else
{
push(rt,l,r); //我们要去处理它的儿子节点了，就需要把Lazy标记往下推了
int mid = l + r>>1; //这里说明一下：‘+’优先级比'>>'符号高
ll ret = 0;
if(ql<=mid) ret += query(l,mid,rt<<1,ql,qr);
if(qr>mid) ret += query(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr);
return ret;
}
}
更新：更新与查找相似，都是从根往下，若是（ql，qr）包含了这个根所在区间，就直接给这个区间附上Lazy标记并返回，否则就说明有不必要的冗杂的东西，就得把目前这个点的Lazy标记往下移动，然后在新的区间继续找新的值。
代码：
void update(int l,int r,int rt,int ql,int qr,int v) //更新函数
{
if(ql<=l&&qr>=r) sum[rt] += (r-l+1)*v,lazy[rt] += v; //此处强调一定要对sum求和别忘记，不然更新父节点会少值
else
{
pushdown(rt,l,r); //说明这个根结点的范围有不在（ql, qr）范围内的，需要递归到下一层去寻找范围内的区间
int mid = l+r>>1;
if(ql<=mid) update(l,mid,rt<<1,ql,qr,v);
if(qr>mid) update(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr,v);
sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1];
}
}
最后，附上永久标记话代码，我也没懂不过先做个笔记记下来，总有用到以及学会的一天。
//标记永久化（永久化标记）
void push(int rt,int l,int r) //就是pushudown的作用
{
if(lazy[rt]==0)return;
ll le = (r+l>>1)-l+1;
ll re = r-l+1-le;
lazy[rt<<1] += lazy[rt];
lazy[rt<<1|1] += lazy[rt];
sum[rt<<1] += lazy[rt]*le;
sum[rt<<1|1] += lazy[rt]*re;
lazy[rt] = 0;
}
ll query(int l,int r,int rt,int ql,int qr)
{
if(ql<=l&&qr>=r) return sum[rt];
else
{
//push(rt,l,r);
int mid = l + r>>1;
ll ret = 1ll*(min(qr,r)-max(ql,l)+1) * lazy[rt];
if(ql<=mid) ret += query(l,mid,rt<<1,ql,qr);
if(qr>mid) ret += query(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr);
return ret;
}
}
void update(int l,int r,int rt,int ql,int qr,int v)
{
if(ql<=l&&qr>=r) sum[rt] += 1LL*(r-l+1)*v,lazy[rt] += v;
else
{
int mid = l+r>>1;
if(ql<=mid) update(l,mid,rt<<1,ql,qr,v);
if(qr>mid) update(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr,v);
sum[rt] = sum[rt<<1] + sum[rt<<1|1] + lazy[rt]*(r-l+1);
}
}
