【生存分析】参数模型 - 加速失效（AFT）模型

加速失效（AFT）模型

假设 $T$ 为失效时间，$x$ 为协变量，加速失效（accelerate failure time）模型的假设是，一个人的生存时间等于人群基准生存时间 * 这个人的加速因子，其数学形式如下：
$$T=t\ast e^{\theta \cdot x},t=e^{\mu +\sigma \ast W}$$
常见形式还包括：
$$S(t|x)=S_0(t\ast e^{\theta \cdot x})$$
$$Y=log(T)=\mu +\gamma \cdot x+\sigma \ast W$$

其中人群的基准生存时间$t$服从某个概率分布，$W$也是服从某个概率分布的随机变量。常见分布如下：

$t$	$W$
Weibull	极值分布
log-normal	正态
log-logistic	Logistic

从上面的数学形式可以看出，某个人的生存时间受基准生存时间和加速因子的影响的，而基准生存时间为研究中所有人共有，加速因子则与该人与研究目标相关的协变量相关。

所以，很显然，该模型需要估计的参数为与基准生存时间分布相关的参数 $\mu ,\sigma$，以及和协变量相关的系数 $\theta$。

参数符号说明：

• $\gamma =-\theta$
• $\theta$ 称作加速系数，而 $\gamma$ 常常被称为回归系数

参数估计与推断

考虑只有右删失情况的数据 $\{(T_i,C_i):i=1,2,...,n\}$，其中$T_i$表示第$i$个病人的存活时间，$C_i$表示第$i$个病人的生存状态。则由极大似然估计可得：
$$L=\prod _{i=1}^n{f_i(T_i)}^{C_i}{S_i(T_i)}^{1-C_i}$$
其中，$f_i$函数表示第$i$个病人死亡时间的概率密度函数，$S_i$函数表示第$i$个病人生存函数，注意生存分析中 $f(t)=-S^{{}^{\prime }}(t)$。

而基准生存时间$t$的概率分布已知，且 $T_i=t\ast e^{\theta \cdot x}$，所以我们很容易得到 $f_i$ 与 $S_i$ 的表达式，进而写出极大似然估计量 $L$。

然后通过优化算法估计参数，一般是最小化目标函数 $-log(L)$。

R中的用法

R中的survreg函数使用log转化拟合AFT模型：

survreg.fit = survreg(formula, data=, dist="weibull", ...)

其中

• formula 是关于转化后的生存时间$In(T)$的表达式；
• dist 是假设$T$所服从的概率分类类型， 包括”weibull”, ”exponential”, ”gaussian”, ”logistic”, ”lognormal” 和”loglogistic”.

拟合后的模型：

• 系数$\mu ,\gamma$：survreg.fit$coef；
• 方差矩阵：survreg.fit$var；
• 基准模型参数 $\mu ,log\sigma$： survreg.fit$icoef；
• 模型诊断，残差分析：residuals(survreg.fit, type=)；

T服从Weibull分布

当死亡时间服从Weibull分布时，可以推导出如下内容：