状态压缩dp

状态压缩dp

1. 算法分析

状压dp类型：

1. 连通性状压dp（棋盘类dp）
2. 集合类dp

    连通性dp的状态压缩表示的是每个点的位置关系，集合类dp的状态压缩表示的是每个点的是否存在

状压dp特点：
    处理的棋盘的规模很小，一般n、m规模都在60以内

2. 典型例题

2.1 连通性状压dp

acwing291蒙德里安的梦想
题意： 求把N * M的棋盘分割成若干个1 * 2的的长方形，有多少种方案。
例如当N=2，M=4时，共有5种方案。当N=2，M=3时，共有3种方案。
如下图所示：

1≤N,M≤11
题解： 仔细考虑就可以知道全部的方案是取决于横的方块的方案，一旦横的方块确定后竖的方块也就确定了。使用f[i][j]表示前i-1列填完，第i列为j的情况，那么能够合法填充的j和k满足，j&k==0且j|k之间连续的1为偶数。那么考虑dp的转移方程为:f[i][j]+= f[i-1][k] (k是和j能够匹配的合法方案)
代码：

#include
using namespace std;

typedef long long LL;

int n, m;
int const N = 1e4 + 10;
LL f[20][N];
int st[N];
vector state[N];

int main()
{
    while (cin >> n >> m && n && m)
    {
        // 初始化
        memset(f, 0, sizeof f);
        f[0][0] = 1;
        for (int i = 0; i < 1 << n; ++i) state[i].clear();

        // 预处理st
        for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
        {
            int cnt = 0;
            st[i] = true;
            for (int j = 0; j < n; j ++ )
                if (i >> j & 1)
                {
                    if (cnt & 1) st[i] = false;
                    cnt = 0;
                }
                else cnt ++ ;
            if (cnt & 1) st[i] = false;
        }

        // 预处理state
        for (int i = 0; i < 1 << n; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < 1 << n; ++j)
            {
                if ((i & j) == 0 && st[i | j]) state[i].push_back(j);
            }
        }

        // dp转移
        for (int i = 1; i <= m; ++i)
        {
            for (int j = 0; j < 1 << n; ++j)
            {
                for (int k = 0; k < state[j].size(); ++k)  // 获得所有的合法方案
                {
                    f[i][j] += f[i - 1][state[j][k]];
                }
            }
        }
        printf("%lld\n", f[m][0]);
    }
    
    return 0;
}

acwing1064骑士
题意： 在 n×n 的棋盘上放 k 个国王，国王可攻击相邻的 8 个格子，求使它们无法互相攻击的方案总数。1≤n≤10,0≤k≤n^2^
题解： 状压dp模板题
代码：

#include

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 12, M = 1 << 10, K = 110;

int n, m;
vector state;
int cnt[M];
vector head[M];
LL f[N][K][M];

// 计算每种情况是否合法
bool check(int state)
{
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        if ((state >> i & 1) && (state >> i + 1 & 1))
            return false;
    return true;
}

// 计算每种情况内的1
int count(int state)
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) res += state >> i & 1;
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    // 记录所有合法的情况，同时计算出每种合法情况的1数目
    for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
        if (check(i))
        {
            state.push_back(i);
            cnt[i] = count(i);
        }

    // 计算哪两种合法情况间能够互相匹配
    for (int i = 0; i < state.size(); i ++ )
        for (int j = 0; j < state.size(); j ++ )
        {
            int a = state[i], b = state[j];
            if ((a & b) == 0 && check(a | b))
                head[i].push_back(j);
        }

    // 状态转移：f[i][j][a]:到第i行，使用了j个，第i行填充a
    f[0][0][0] = 1;  // 本题入口与蒙德里安的梦想不同是因为本题的第一列可以填东西，而蒙德里安的梦想第一列不可以填东西
    for (int i = 1; i <= n + 1; i ++ )
        for (int j = 0; j <= m; j ++ )
            for (int a = 0; a < state.size(); a ++ )
                for (int b : head[a])  // 第i-1行填充b
                {
                    int c = cnt[state[a]];
                    if (j >= c)
                        f[i][j][a] += f[i - 1][j - c][b];
                }

    cout << f[n + 1][m][0] << endl;  // 输出第n+1行，使用了m个，第n+1行填充0的情况

    return 0;
}

acwing327玉米田
题意： 农夫约翰的土地由M*N个小方格组成，现在他要在土地里种植玉米。非常遗憾，部分土地是不育的，无法种植。而且，相邻的土地不能同时种植玉米，也就是说种植玉米的所有方格之间都不会有公共边缘。现在给定土地的大小，请你求出共有多少种种植方法。土地上什么都不种也算一种方法。1≤M,N≤12
题解： 状压dp模板题
代码：

#include

using namespace std;

typedef long long LL;
int n, m;
int const N = 14, M = 1 << N, MOD = 1e8;
LL f[N][M];
int g[N];
vector st;
vector state[M];

bool check(int x)
{
    for (int i = 0; i < m - 1; ++i)
        if ((x >> i & 1) && (x >> (i + 1) & 1)) return false;
    return true;
}

int main()
{
    // 初始化玉米田地
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1 ; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < m; ++j)
        {
            int t;
            cin >> t;
            g[i] += (!t << j);
        }
    }

    // 找到所有合法方案
    for (int i = 0; i < 1 << m; ++i)
    {
        if (check(i)) st.push_back(i);
    }

    // 找到可以互相匹配的合法方案
    for (int i = 0; i < st.size(); ++i)
        for (int j = 0; j < st.size(); ++j)
        {
            int a = st[i], b = st[j];
            if ((a & b) == 0) state[i].push_back(j);
        }

    // 初始化
    memset(f, 0, sizeof f);
    f[0][0] = 1;

    // 状态转移f[i][j]:第i行使用第j种合法方案
    for (int i = 1; i <= n + 1; i ++ )  // 第i行
        for (int j = 0; j < st.size(); j ++ )  // 第j种合法方案
            if (!(st[j] & g[i])) // 如果第j种合法方案和当前玉米地不匹配
                for (int k : state[j])  // 第i-1行选择合法方案k
                    f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][k]) % MOD;

    cout << f[n + 1][0] << endl;  // 第n+1行选择合法方案0的情况（即000000）

    return 0;
}

acwing292 炮兵阵地
题意： 司令部的将军们打算在N * M的网格地图上部署他们的炮兵部队。一个N * M的地图由N行M列组成，地图的每一格可能是山地（用”H” 表示），也可能是平原（用”P”表示），如下图。在每一格平原地形上最多可以布置一支炮兵部队（山地上不能够部署炮兵部队）；一支炮兵部队在地图上的攻击范围如图中黑色区域所示：

如果在地图中的灰色所标识的平原上部署一支炮兵部队，则图中的黑色的网格表示它能够攻击到的区域：沿横向左右各两格，沿纵向上下各两格。图上其它白色网格均攻击不到。从图上可见炮兵的攻击范围不受地形的影响。现在，将军们规划如何部署炮兵部队，在防止误伤的前提下（保证任何两支炮兵部队之间不能互相攻击，即任何一支炮兵部队都不在其他支炮兵部队的攻击范围内），在整个地图区域内最多能够摆放多少我军的炮兵部队。输出最多能摆放的炮兵部队的数量。N≤100,M≤10
题解：

代码：

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 10, M = 1 << 10;

int n, m;
int g[1010];
int f[2][M][M];
vector state;
int cnt[M];

bool check(int state)
{
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
        if ((state >> i & 1) && ((state >> i + 1 & 1) || (state >> i + 2 & 1)))
            return false;
    return true;
}

int count(int state)
{
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
        if (state >> i & 1)
            res ++ ;
    return res;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            char c;
            cin >> c;
            g[i] += (c == 'H') << j;
        }

    for (int i = 0; i < 1 << m; i ++ )
        if (check(i))
        {
            state.push_back(i);
            cnt[i] = count(i);
        }

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 0; j < state.size(); j ++ )
            for (int k = 0; k < state.size(); k ++ )
                for (int u = 0; u < state.size(); u ++ )
                {
                    int a = state[j], b = state[k], c = state[u];
                    if (a & b | a & c | b & c) continue;
                    if (g[i] & b | g[i - 1] & a) continue;
                    f[i & 1][j][k] = max(f[i & 1][j][k], f[i - 1 & 1][u][j] + cnt[b]);
                }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < state.size(); i ++ )
        for (int j = 0; j < state.size(); j ++ )
            res = max(res, f[n & 1][i][j]);

    cout << res << endl;

    return 0;
}

2.2 集合类dp

acwing 91. 最短Hamilton路径
题意： 给定一张 n 个点的带权无向图，点从 0 ~ n-1 标号，求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。输出一个整数，表示最短Hamilton路径的长度。1≤n≤20，0≤a[i,j]≤10^7^
题解： 本题如果纯暴力那么共有n!种情况
因此可以考虑使用二进制来优化时间复杂度。第一维枚举每个点是否被使用过，第二维和第三维分别枚举当前是在哪个点上，通过不断的三角不等式更新，最后就可以取得最小值。这个题本质就是对floyd的一种优化
代码：

#include

using namespace std;

int const N = 1 << 20;
int f[N][21];
int n;
int g[21][21];
int main()
{
    // 读入边
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        for (int j = 0; j < n; ++j)
            cin >> g[i][j];
    
    // 初始化
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[1][0] = 0;

    // 更新f数组
    for (int i = 0; i < 1 << n; ++i)  // 枚举每一种情况
    {
        for (int j = 0; j < n; ++j)  // 枚举第1个点
        {
            if (i >> j & 1)
            {
                for (int k = 0; k < n; ++k)  // 枚举第2个点
                {
                    if ((i - (1 << j)) >> k & 1)
                    {
                        f[i][j] = min(f[i][j], f[i - (1 << j)][k] + g[k][j]);  // 三角不等式更新
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << f[(1 << n) - 1][n - 1] << endl;
    return 0;
}