【概率论】二维随机变量：联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系

摘要：本文主要介绍二维随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系，并以矿山事故为例，强化对三者关系的认识。

一、联合分布律、边缘分布律和条件分布律之间的关系

1、若已知(X, Y)的联合分布率 => 可以求出X的边缘分布律和Y的边缘分布率
● X的边缘分布律为

● Y的边缘分布律为

2、若已知(X, Y)的联合分布律和X的边缘分布律 => 可以求出Y的条件分布律

3、若已知X的边缘分布律和Y的条件分布律 => 可以求出(X, Y)的联合分布律

4、若已知X的边缘分布率和Y的边缘分布率 => 只有当X和Y相互独立时，才可以求出(X, Y)的联合分布率

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✔   综合应用：若已知X的边缘分布率和Y的条件分布律，如何求X的条件分布律？
        求解分析：只需综合运用上述的几种情况即可，思路如下图所示：

        求解过程如下图所示，可以看出，我们始终是根据条件分布律的定义，对分子上的(X, Y)联合分布律和分母上的Y边缘分布律进行变形处理，将等式转化为题目已知的X边缘分布律和Y条件分布律进行表示。

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二、问题的引入

        例：某矿山一年内发生的事故总数服从泊松分布X ~ P(λ)，其中一个事故是致命的概率为 p (0 < p < 1)，事故发生之间相互独立。设一年内发生发生致命事故的次数为Y，求Y的分布律。

三、问题的分析

        分析：该问题含有两个随机变量：事故总数X和致命事故总数Y。题目所要求的Y的分布律实质上为该二维随机变量的边缘分布律。显然致命事故发生的次数Y与事故总数X之间必然有着某种联系，根据题目给出的其中一个事故是致命的概率为 p，可以求出Y在X = k（k为事故发生的次数）下的条件分布律，注意这里Y的条件分布律服从二项分布，即

        由于矿山事故为稀有事件，所以事故总数X服从泊松分布（这与题目所给条件相符），利用泊松分布的公式可以直接得到随机变量X的边缘分布率如下式所示：

        求解思路：有了X的边缘分布律和Y的条件分布律，通过式(1.4)我们就可以得到(X, Y)的联合分布律，根据联合分布律由式(1.2)可以进一步求出Y的边缘分布率，求解过程如下图所示：

四、问题的求解

        根据X的边缘分布律和Y的条件分布律，通过乘法公式（式1.4）计算出二维随机变量(X, Y)的联合分布律。（注意致命事故发生的次数m一定小于或者等于事故发生的次数k)

       根据联合分布律，遍历完X的所有可能取值，就可以得到Y的边缘分布律。当求P(Y = m)时，注意到隐含的条件是：事故发生的次数k只可能大于或者等于m，即k ≥ m。所以我们只需在Y = m的情况下，将k = m到k = ∞之间的所有联合分布律求和，即可得到P(Y = m)。

        结果表明，致命事故发生的次数Y服从泊松分布，这与我们的预想的确是一致的，因为致命事故的发生是比单纯发生矿山事故更稀有的事件，所以自然也服从泊松分布，而泊松分布的均值恰好为λp（矿山事故发生的均值 * 事故发生后致命的概率）。