Matlab模拟退火算法解决TSP问题

问题描述

已知敌方100 个目标的经度、纬度如表1 所示。


在地图上显示如下：

我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。假设我方飞机的速度为1000 公里/小时。我方派一架飞机从基地出发，侦察完敌方所有目标，再返回原来的基地。在敌方每一目标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我方飞机巡航时间可以充分长）。

求解思路

这是一个旅行商问题。我们依次给基地编号为1，敌方目标依次编号为2，3，…，101，最后我方基地再重复编号为 102（这样便于程序中计算）。距离矩阵 $D=(d_{ij}{)}_{102\times 102}$，其中 $d_{ij}$ 表示表示$i,j$ 两点的距离，$i,j=1,2,\dots ,102$，这里$D$为实对称矩阵。则问题是求一个从点1 出发，走遍所有中间点，到达点102 的一个最短路径。

1. 读取数据

先把xlsx文件中的数据保存在变量 data1 中，把基地设为home，则最终的数据为data = [home; data1; home]。将data再保存到data_plot变量中，方便后面的画图操作。
代码如下：

% 初始化各种参数
T = 1000;       % 设置初始温度
derate = 0.99;  % 设置退火率
T_min = 1e-10; % 设置最小温度
L = 0;          % 迭代次数

data1 = xlsread('飞行点坐标.xlsx'); % 读取数据
home = [70, 40];
data = [home;data1;home];
data_plot = [home;data1;home];

2. 求解距离矩阵

因为文件中给的数据是需侦察点的经纬度，所以需要求实际距离。设A, B两点的地理坐标分别为(x₁, y₁), (x₂, y₂)，过 A, B两点的大圆的劣弧长即为两点的实际距离。以地心为坐标原点O，以赤道平面为XOY 平面，以0 度经线圈所在的平面为 XOZ 平面建立三维直角坐标系。则 A, B两点的直角坐标分别为：

$A(R\cos x_1\cos y_1,R\sin x_1\cos y_1,R\sin y_1)$
$A(R\cos x_2\cos y_2,R\sin x_2\cos y_2,R\sin y_2)$

其中 R = 6370为地球半径。
A, B两点的实际距离
$$d=R\arccos \left(\frac{OA\cdot OB}{|OA|\cdot |OB|}\right)$$
化简得
$$d=R\arccos [\cos (x_1-x_2)\cos y_1\cos y_2+\sin y_{1}sin{y}_2]$$
代码如下：

data = data * pi / 180;
R = 6370; % 地球半径
% 求解距离矩阵
for i = 1:length(data)
    for j = 1:length(data)
        D(i,j) = R*acos(cos(data(i,1)-data(j,1))*cos(data(i,2))*cos(data(j,2))+sin(data(i,2))*sin(data(j,2)));
    end
end

3. 用蒙特卡洛方法产生一个初始解

解空间S 可表为$\{1,2,\dots ,101,102\}$的所有固定起点和终点的循环排列集合，即
$$S=\{({\pi }_1,{\pi }_2,\dots ,{\pi }_{102})|{\pi }_1=1,({\pi }_2,\dots ,{\pi }_{101})为\{2,3,\dots ,101\}的循环排列，{\pi }_{102}=102)$$

循环1000次或更多次，每次循环随机产生解空间，以1开头，以102结尾。每次循环都和上次的总距离Sum比较，如果比上次的总距离小，则此次循环产生的解空间更好。

代码如下：

% 用蒙特卡洛方法产生一个较好的初始解
Sum = inf; % 初始化总路径长度为无穷大
for i = 1:1000
    S=[1,1+randperm(100),102]; % 随机产生解空间S，以1为开头，102为结尾
    temp = 0;
    for j=1:101
        temp=D(S(j),S(j+1));
    end
    if temp < Sum
        S0 = S;
        Sum = temp;
    end 
end

4. 模拟退火过程

求解的模拟退火算法描述如下：

(1) 解空间

解空间S 可表为{1,2,$\dots$,101,102 }的所有固定起点和终点的循环排列集合，即

$$S=\{({\pi }_1,{\pi }_2,\dots ,{\pi }_{102})|{\pi }_1=1,({\pi }_2,\dots ,{\pi }_{101}为\{2,3,\dots ,101\}的循环排列，{\pi }_{102}=102)$$
其中每一个循环排列表示侦察 100 个目标的一个回路，${\pi }_i=j$ 表示在第$i$次侦察 $j$点，初始解可选为(1,2,$\dots$,102)，本文中我们使用 Monte Carlo 方法求得一个较好的初始解。

(2) 目标函数

此时的目标函数为侦察所有目标的路径长度或称代价函数。我们要求
$$\min f({\pi }_1,{\pi }_2,\dots {\pi }_{102})=\sum _{i=1}^{101}{d}_{{\pi }_i{\pi }_{i+1}}$$
而一次迭代由下列三步构成：

(3) 新解的产生

2 变换法
任选序号$u,v$ $(u<v)$交换$u$与$v$之间的顺序，此时的新路径为：
$${\pi }_1\dots {\pi }_{u-1}{\pi }_v{\pi }_{v+1}\dots {\pi }_{u+1}{\pi }_u{\pi }_{v+1}\dots {\pi }_{102}$$

(4) 代价函数差

对于2 变换法，路径差可表示为
$$\Delta f=(d_{{\pi }_{u-1}{\pi }_v}+d_{{\pi }_u{\pi }_{v+1}})-(d_{{\pi }_{u-1}{\pi }_u}+d_{{\pi }_v{\pi }_{v+1}})$$

(5) 接受准则

$$P=\{\begin{array}{ll}1& \Delta f<0\\ \exp (-\Delta f/T)& \Delta f\ge 0\end{array}$$
如果$\Delta f<0$，则接受新的路径。否则，以概率$\exp (-\Delta f/T)$接受新的路径，即若$\exp (-\Delta f/T)$大于 0 到1之间的随机数则接受。

(6) 降温

利用选定的降温系数$\alpha$进行降温即：$T\leftarrow \alpha T$，得到新的温度，这里我们取$\alpha =0.999$。

(7) 结束条件

用选定的终止温度$T\_min=10^{-10}$，判断退火过程是否结束。若$T<T\_min$，算法结束，输出
当前状态。

代码如下：

% 模拟退火
hold on
while T > T_min
    % 2变换法产生新解
    change = 1+ceil(100*rand(1,2));
    change = sort(change);
    u = change(1);
    v = change(2);
    % 求与上一个解的差
    delta_Sum = D(S0(u-1),S0(v))+D(S0(u),S0(v+1))-D(S0(u-1),S0(u))-D(S0(v),S0(v+1));
    % 接受准则
    if delta_Sum < 0
        S0=[S0(1:u-1),S0(v:-1:u),S0(v+1:102)];
        Sum = 0;
        for j=1:101
            Sum=Sum + D(S0(j),S0(j+1));
        end
    elseif exp(-delta_Sum/T)>rand(1)
        S0=[S0(1:u-1),S0(v:-1:u),S0(v+1:102)];
        Sum = 0;
        for j=1:101
            Sum=Sum + D(S(j),S(j+1));
        end
    end
    L = L+1;
    % 画迭代图
    if mod(L, 50)==0
        scatter(L, Sum,'.b');
    end
    T = T*derate;
end
xlabel("迭代次数");
ylabel("总路程");
hold off

5. 数据可视化

%可视化
figure
hold on
%画点
for i = 1:102
    scatter(data_plot(S0(i),1),data_plot(S0(i),2),'*b')
end
%画线
for i = 1:101
    plot([data_plot(S0(i),1),data_plot(S0(i+1),1)], [data_plot(S0(i),2),data_plot(S0(i+1),2)],'r')
end
title("路线图");
hold off
Time = Sum/1000;
fprintf('总路程为%.4f km\n花费时间为%.4f h\n',Sum,Time);

全部代码

clear;
clc;
data1 = xlsread('飞行点坐标.xlsx'); % 读取数据
home = [70, 40];
data = [home;data1;home];
data_plot = [home;data1;home];
data = data * pi / 180;
R = 6370; % 地球半径


% 求解距离矩阵
for i = 1:length(data)
    for j = 1:length(data)
        D(i,j) = R*acos(cos(data(i,1)-data(j,1))*cos(data(i,2))*cos(data(j,2))+sin(data(i,2))*sin(data(j,2)));
    end
end

% 初始化各种参数
T = 1000;       % 设置初始温度
derate = 0.99;  % 设置退火率
T_min = 1e-100;  % 设置最小温度
L = 0;          % 迭代次数

% 用蒙特卡洛方法产生一个较好的初始解
Sum = inf; % 初始化总路径长度为无穷大
for i = 1:1000
    S=[1,1+randperm(100),102]; % 随机产生解空间S，以1为开头，102为结尾
    temp = 0;
    for j=1:101
        temp=D(S(j),S(j+1));
    end
    if temp < Sum
        S0 = S;
        Sum = temp;
    end 
end

% 模拟退火
hold on
while T > T_min
    % 2变换法产生新解
    change = 1+ceil(100*rand(1,2));
    change = sort(change);
    u = change(1);
    v = change(2);
    % 求与上一个解的差
    delta_Sum = D(S0(u-1),S0(v))+D(S0(u),S0(v+1))-D(S0(u-1),S0(u))-D(S0(v),S0(v+1));
    % 接受准则
    if delta_Sum < 0
        S0=[S0(1:u-1),S0(v:-1:u),S0(v+1:102)];
        %S0 = [S0(1:u-1), v, S0(u+1:v-1), u, S0(v+1:length(data))];
        Sum = 0;
        for j=1:101
            Sum=Sum + D(S0(j),S0(j+1));
        end
    elseif exp(-delta_Sum/T)>rand(1)*5
        S0=[S0(1:u-1),S0(v:-1:u),S0(v+1:102)];
        Sum = 0;
        for j=1:101
            Sum=Sum + D(S0(j),S0(j+1));
        end
    end
    L = L+1;
    % 画迭代图
    if mod(L, 50)==0
        scatter(L, Sum,'.b');
    end
    T = T*derate;
end
xlabel("迭代次数");
ylabel("总路程");
hold off

% 可视化
figure 
hold on
% 画点
for i = 1:102
    scatter(data_plot(S0(i),1),data_plot(S0(i),2),'*b')
end
% 画线
for i = 1:101
    plot([data_plot(S0(i),1),data_plot(S0(i+1),1)], [data_plot(S0(i),2),data_plot(S0(i+1),2)],'r')
end
title("路线图");
hold off
Time = Sum/1000;
fprintf('总路程为%.4f km\n花费时间为%.4f h\n',Sum,Time);

结果

其中一次模拟结果如图：

附录

飞行点坐标.png