数值分析：插值与拟合

1 插值

定义设函数在区间上的个点，上的函数值为，若粗在函数，使成立，则称函数为的 插值函数，称为被插值函数，点称为 插值节点，包含插值节点的区间称为 插值区间

在这里我们进讨论 多项式插值 与 分段插值

多项式插值

插值多项式是否存在，若存在是否唯一
怎么推导插值多项式
如何估计其逼近程度
如何应用

定理1 在个相异插值节点处取给定值的次数不高于的插值多项式存在且唯一（可以通过非齐次线性方程组的范德蒙德行列式证明）

2 拉格朗日插值

2.1 拉格朗日插值多项式

线性插值
过曲线上两点做直线，由两点式：显然为插值多项式
抛物线插值
过曲线上三点做抛物线，同样不难得到：显然也为插值多项式

用类似的推导方式可以证明，个节点的拉格朗日插值多项式应定义为如下形式。
定义在插值节点上的 拉格朗日插值多项式 为其中称为 插值基函数

2.2 插值余项

若在上使用近似，则其截断误差为，也称为 插值多项式的余项。关于插值余项估计有如下定理

定理2 设在区间上连续，在区间内存在，是以为节点的拉格朗日插值多项式，则对任何
这里且依赖于

2.3 算法步骤

(1) 输入
(2) 对计算
(3) 计算
(4) 输出，结束

2.4 注意事项

为次数不高于次的多项式，其次数可能小于
若是次数不超过次的多项式，那么以个点为节点的插值多项式就一定是其本身。特别是当取时，得恒等式这一等式为我们提供了验证插值基函数的一种方法
用于误差估计。若，则
只与节点及函数在节点处的值有关，与无关；而与关系最为密切。

3 差商与牛顿插值

3.1 差商

定义设已给插值节点以及相应的函数值称为函数关于点的一阶差商，称为函数关于点的二阶差商，称为函数关于点的阶差商

3.2 差商的性质

线性性
阶差商是函数值的线性组合，即其中
对称性
差商是的对称函数。
差商与导数的关系
设函数在区间上存在阶导数，且，则存在使得

3.3 牛顿插值多项式

由差商的定义可导出其中称为牛顿插值多项式称为牛顿插值多项式的余项

3.4 算法步骤

(1) 输入
(2) 对计算
(3)对计算
(3) 计算
(4) 输出，结束

4 Hermite插值

4.1 Hermite插值多项式及其余项

Hermite插值多项式:其中 余项:其中

4.2 两点三次Hermite插值多项式

已知在上的节点上的函数值及一阶导数值，则三次Hermite插值多项式 $\begin{align} H_3(x)=&y_0\alpha_0(x)+y_1\alpha_1(x)+y_0'\beta_0(x)+y_1'\beta_1(x)\\ =&y_0\left(1-2\frac{x-x_0}{x_0-x_1}\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2+y_1\left(1-2\frac{x-x_1}{x_1-x_0}\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2\\ &+y_0'(x-x_0)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2+y_1'(x-x_1)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2\\ \end{align}$ 余项

5 分段低次插值

5.1 龙格现象

随着插值多项式次数的增大，插值函数在两端会发生激烈的震荡，这就是龙格现象

5.2 分段线性插值

对给定区间做分割：，在每个小区间上以为节点作的线性插值：把每个小区间上的线性插值函数连起来，就得到了分段线性插值函数
误差公式为

5.3 分段三次Hermite插值

对给定区间做分割：，在每个小区间上以为节点作分段三次Hermite插值： $\begin{align} S_i(x)=&f(x_i)\left(1-2\frac{x-x_i}{x_i-x_{i+1}}\right)\left(\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\right)^2\\ &+f(x_{i+1})\left(1-2\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\right)\left(\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_{i}}\right)^2\\ &+f'(x_i) (x-x_i)\left(\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\right)^2\\ &+f'(x_{i+1}) (x-x_{i+1})\left(\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_{i}}\right)^2\\ \end{align}$ 误差公式为

5 最小二乘拟合

定义确定使得最小问题称为观测数据的最小二乘拟合问题。若函数系为幂函数系，此时的到的称为回归曲线

5.1 最小二乘法

由于，且为连续函数，故一定存在一组使其达到极小值，这时我们只需要求出驻点即可。
因此我们假设的观测数据为，对于为次回归曲线，通过求解正规方程组可以求出的值，可求得近似函数。 $\left( \begin{matrix} n & \sum\limits_{k=1}^n x_k & \sum\limits_{k=1}^n x^2_k & \cdots & \sum\limits_{k=1}^n x^m_k\\ \sum\limits_{k=1}^n x_k & \sum\limits_{k=1}^n x^2_k & \sum\limits_{k=1}^n x^3_k & \cdots & \sum\limits_{k=1}^n x^{m+1}_k\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum\limits_{k=1}^n x^m_k & \sum\limits_{k=1}^n x^{m+1}_k & \sum\limits_{k=1}^n x^{m+2}_k& \cdots & \sum\limits_{k=1}^n x^{2m}_k\\ \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_m \\ \end{matrix} \right)= \left( \begin{matrix} \sum\limits_{k=1}^n y_k \\ \sum\limits_{k=1}^n x_ky_k \\ \vdots \\ \sum\limits_{k=1}^n x_k^my_k \\ \end{matrix} \right)$

解题时，先写出正规方程组所需数据的数据表，再求解即可得到参数

5.2 最小二乘法的病态现象

衡量一个线性方程组是否“病态”及其病态程度，可通过矩阵的条件数理论来完成。若线性方程组系数矩阵的条件数，则该方程组“病态”，并且系数矩阵的条件数越大，方程组的“病态”程度就越严重，其解随系数矩阵或自由项的变化（灵敏度）就越大。