bsgs及exbsgs

$bsgs$

$$A^x\equiv B(modC),gcd(A,C)=1$$
$$t=\sqrt{C},x=i\ast t-j,A^{it-j}\equiv B(modC)$$
$$A^{it}\equiv A^j\ast B(modC)$$

• 因为$A,C$互质，所以上述式子显然正确。把$A^j$存入$hash$里面，然后依次枚举$i$，判断是否有解即可。

$exbsgs$

$$d=gcd(A,C)$$
$$A^{x-1}\ast \frac{A}{d}\equiv \frac{B}{d}(mod\frac{C}{d})$$
$$A^{x-cnt}\ast A^{cnt}\ast {\Pi }_d\equiv \frac{B}{{\Pi }_d}(mod\frac{C}{{\Pi }_d})$$

• $d$是$A,C$的公约数，方程两边同时除，仍然成立。
• 如果$d!=1$，继续往下除。如果过程中当前$B$不是$d$的倍数，说明无解。如果$B=t$，说明$cnt$就是答案。
• 此时$d=1$，做一遍$bsgs。$

$Coding$

#include
#include
using namespace std;
int a,p,b,t,cnt;
unordered_map<int,int>mp;
int gcd(int a,int b){
	if(!b) return a;
	return gcd(b,a%b);
}
int mul(int a,int b,int p){return 1LL*a*b%p;}
int exbsgs(int a,int b,int p){
	//if(!a&&b) return -1;
	if(b==1) return 0;
	cnt=0;int d,k=1;
	for(d=gcd(a,p);d!=1;d=gcd(a,p)){
		if(b%d) return -1;
		b/=d,p/=d,cnt++,k=mul(k,a/d,p);
		if(k==b) return cnt;
	}
	t=sqrt(p)+1;int kt=1;
	mp.clear();
	for(int i=0;i<t;++i){
		mp[mul(kt,b,p)]=i;
		kt=mul(kt,a,p);
	}
	k=mul(k,kt,p);
	for(int i=1;i<=t;++i){
		if(mp.find(k)!=mp.end()) return i*t-mp[k]+cnt;
		k=mul(k,kt,p);
	}
	return -1;
}
int main(){
	while(scanf("%d%d%d",&a,&p,&b)&&a&&p&&b){
		int ans=exbsgs(a,b,p);
		if(~ans) printf("%d\n",ans);
		else printf("No Solution\n");
	}
	return 0;
}