Dp——最长上升子串、最长上升子序列

最长上升子串

一、题目描述

描述

一个数的子串bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个子串是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子串(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。如：对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子串，如(1, 7), (3, 5, 9)等等。这些子串中最长的长度是3，比如子序列(3, 5, 9).你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子串的长度。

输入

输入格式：两行，第1行1个整数n(n<=1000)，表示序列长度，第2行n个整数用空格隔开表示具体数值。

输出

输出格式: 一行，一个整数表示最长序列的长度。

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

3

二、解题思路

因为是最优子结构的问题，所以，可以采用动态规划来做。

【数学建模】

定义dp[i]代表以第i个数结尾的最长上升子序列的长度，所以最终的答案那就是整个dp数组中最大的那一个数。

下标	原数组	dp数组
1	1	1
2	7	2
3	3	1
4	5	2
5	9	3
6	4	1
7	8	2

ans=max(dp)=3;

【状态方程】

如果A[i]（原数组）>A[i-1]，则dp[i]=dp[i-1]+1;
否则，dp[i]=1;

【边界（初始化）】

因为第一个一定是一个上升的子串，所以dp[1]=1。

三、代码

#include
#include
using namespace std;
int n,A[10010],dp[10010],ans;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&A[i]);
	dp[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(A[i]>A[i-1])
			dp[i]=dp[i-1]+1;
		else
			dp[i]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=max(ans,dp[i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
} 

最长上升子序列

一、题目描述

一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。如：对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入格式：两行，第1行1个整数n(n<=1000)，表示序列长度，第2行n个整数用空格隔开表示具体数值。

输出

输出格式: 一行，一个整数表示最长序列的长度

样例输入

7
1 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

二、解题思路

和上一题一样，也是最优子结构的问题，所以也采用动态规划来做。

【数学建模】

令f[i]代表以i结尾的最长上升子序列的长度。

下标	原数组	f数组
1	1	1
2	7	2
3	3	2
4	5	3
5	9	4
6	4	3
7	8	4

ans=max(f)=4

【状态方程】

①如果A[i]（当前的数） > A[j]（前一个数），则f[i]=f[j]+1
②否则找到（从后往前）第一个比a[i]小的数a[k]，则f[i]=f[k]+1

【边界（初始化）】

因为第一个数肯定是一个最长上升子序列，所以dp[1]=1。

三、代码

#include
#include
using namespace std;
int n,ans;
int A[10010],f[10010];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&A[i]);
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(A[i]>A[i-1])
			f[i]=max(f[i-1]+1,f[i]);
		else
			for(int j=i-1;j>=0;j--)
				if(A[i]>A[j])
				{
					f[i]=max(f[j]+1,f[i]);
					break;
				}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=max(ans,f[i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}