DP背包系列（01背包、完全背包、多重背包）（动态规划）

首先安利一发背包九讲：https://www.cnblogs.com/jbelial/articles/2116074.html

简单说说今天学到的

一：01背包问题

（每个物体只能拿一次，要求在一定的空间内，拿物体使得到的价值最大）

有两种写法，一种是二维数组，一种是一维数组（省空间）

1.二维dp的模板：（很奇怪这种方式在有多个样例输入的情况下，不用清空dp数组）

状态转移方程：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wei[i]]+val[i]);

基本操作：

if(j>=wei[i])
{
	dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wei[i]]+val[i]);//i为面对第几个物体了
    //j为所占的空间大小下，dp数组存的是对应的价值
}
else//这种写二维的方式可不清空 
{
	dp[i][j]=dp[i-1][j];
}

2.一维dp的模板（这种方式切记清空dp数组，还有就是注意要从后往前逆序推，因为这样得到的才是上一个状态的，否则会重复计算）

模板：

状态转移方程：dp[j]=max(dp[j],dp[j-wei[i]]+val[i]);

基本操作：

memset(dp,0,sizeof(dp));//一维记得清空 
for(int i=1;i<=n;++i)
{
	for(int j=v;j>=wei[i];--j)
	{
		dp[j]=max(dp[j],dp[j-wei[i]]+val[i]);
	}
}
cout<

总结：简单来说就是对于每一个物体有两种选择，要么拿要么不拿，如不拿就继承上一个状态，否则就上一个状态的dp的值加上当前物体的价值。

 

二：完全背包问题

（每个物体可以拿无数次，要求在一定的空间内，拿物体使得到的价值最大）

板子：

状态转移方程：dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

基本操作：

for(i=1;i<=n;i++)
      for(j=w[i];j<=m;j++)  //注意此处与01背包不同，01为倒序

             dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);

优化：若两件物品i、j满足c[i]<=c[j]且w[i]>=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。

 

三、多重背包问题

（每个物体最多可以拿c【i】次，即次数限制可能不同。要求在一定的空间内，拿物体使得到的价值最大）

板子：（该板子参考：https://blog.csdn.net/qq_41117236/article/details/80986564）

状态转移方程：dp[j]=MAX{dp[j],dp[j-k*w[i]]+k*v[i]};

基本操作：

for(i=1;i<=n;i++)
      for(j=m;j>=0;j--)
           for(k=0;k<=c[i];k++) 
           {
                if(j-k*w[i]<0)   break;
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*w[i]]+k*v[i]);
          }

 

ps：提一下刚好满背包的容量要求下求max/min价值的题：

例子：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

要求对于给定总重量的硬币，所能得到的最少金额。如果无法恰好得到给定的重量，输出-1

代码：

#include 
#define ll long long
#define N 10005
using namespace std;
const int modd=1e9+7;
ll inf=0x3f3f3f3f;
ll dp[N],val[N],wei[N];//重量、个数 ，求min 
int main()
{
	int t,k;
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		int emptw,fullw;
		cin>>emptw>>fullw;
		fullw=fullw-emptw;
		//memset(dp,0,sizeof(dp)); //这种二维dp方式需要清空 
		int n;
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;++i)
			cin>>val[i]>>wei[i];
		for(int i=0;i=wei[i];--j)
			{
				for(int k=1;k*wei[i]<=j;++k)
				{
					dp[j]=min(dp[j],dp[j-k*wei[i]]+k*val[i]);
				
				}
			}
		} 
		if(dp[fullw]!=inf)
			cout<<"The minimum amount of money in the piggy-bank is "<

总结：完全背包装满问题中：求最大最小值可以从初始化入手

如果是要求背包装满的前提下，求最小值，dp[0]=0，dp[  ]的其他置为inf即可
如果是要求求最大值，dp[0]=0，dp[  ]的其他置为-inf即可 

#long long inf =0x3f3f3f3f//无穷大