解题报告：CF1307D Cow and Fields(最短路、最优解不等式化简)

CF1307D Cow and Fields

整张无向图的边权为1。

首先求出 $1,n$ 两个点的单源最短路径。这 $k$ 个特殊点中，我们令第 $a$ 个特殊点到 $1$ 的距离为 $x_a$，到 $n$ 的距离为$y_a$。设答案是连接 $a,b$ 两点。

我们的目的就是最大化$$min（x_a+y_b+1，y_a+x_b+1)$$
为了不失一般性，我们设
$$x_a+y_b\le y_a+x_b。$$
我们可以化简成（分离变量，因为我们必须是同一个 $a$ 才能排序）
$$x_a-y_a\le x_b-y_b$$
我们按照$x_a-y_a$来排序，这样排完序之后的 $a$ 和 $b$就 拥有了一个性质：$a<b$（ $a$ 一定在 $b$ 的前面）
因此我们倒序处理Max[i]数组，表示的是 $i$ 右边（包括自己）最大的 $y_i$。

然后我们正序求当前结点 $a$ 的 $x_a+y_b+1$(只能和右边 $b$ 的匹配) 的最大值即可。

#include
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using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;

const int N = 510007, M = 510007, INF = 0x3f3f3f3f;
int t;
int n,m,k;
int dist[N];
bool vis[N];
int ver[M],nex[M],edge[M],head[N],tot;
int cnt;
int a[N],b[N];
int maxx,minn;
map<int,int>mp;

int Max[N];
int dis1[N],disn[N];


void add(int x,int y,int z){
    ver[tot] = y;
    nex[tot] = head[x];
    edge[tot] = z;
    head[x] = tot ++ ;
}

struct node{
    int dis1,disn;
    bool operator<(const node &t)const{
        return dis1 - disn < t.dis1 - t.disn;
    }
}pos[N];

priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> >q;

void Dijkstra(int S){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    memset(vis,0,sizeof vis);
    dist[S] = 0;
    q.push({dist[S],S});
    while(q.size()){
        int x = q.top().second;
        q.pop();
        if(vis[x])continue;
        vis[x] = true;
        for(int i = head[x];~i;i = nex[i]){
            int y = ver[i],z = edge[i];
            if(dist[y] > dist[x] + z){
                dist[y] = dist[x] + z;
                q.push({dist[y],y});
            }
        }
    }
}

int main(){
    memset(head,-1,sizeof head);
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);

    for(int i = 1;i <= k;++i)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(int i = 1;i <= m;++i){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y,1);
        add(y,x,1);
    }

    Dijkstra(1);
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        dis1[i] = dist[i];
    Dijkstra(n);
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        disn[i] = dist[i];

    for(int i = 1;i <= k;++i)
    pos[i] = {dis1[a[i]],disn[a[i]]};
    sort(pos + 1,pos + 1 + k);

    int ans = 0;
    for(int i = k;i;--i)
        Max[i] = max(Max[i + 1],pos[i].disn);
    for(int i = 1;i < k;++i)
        ans = max(ans,pos[i].dis1 + Max[i + 1] + 1);
    ans = min(ans,dis1[n]);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}