Dijkstra算法

Dijkstra是解决无负权边无负环的带权图中单源最短路径问题的经典算法。它的大致过程是：以起点为中心，每次取最轻（最短）的一个顶点，更新其相邻结点的最小距离——其实就是运用了贪心思想（简单地说就是每次选取局部最优解），向外层层拓展，直至找遍起点到其他点的最短距离。下面给出算法的流程：

设源点为s，且从s到其他所有顶点的边权均已确定，设集合S初始时为空集；设dist数组，dist[i]表示s到i的最短距离，且dist数组初始值设为s到各点的边权；每次选取一个点u∈(V-S)（即V集合中满足不在S集合中的元素），使得dist[u]为(V-S)中所有点最小dist值；将u加入S，然后枚举u相邻的点，并更新其相邻的点的dist值（对u的所有出边进行松弛——此操作详见代码分析）。

显然，每个顶点只能入集合S一次，所以上述操作最多重复|V|次，又因为对于S中的每个顶点要枚举它相邻的所有结点，即最多松弛|V|次，设n为点数，故Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)；用邻接矩阵存储图，空间复杂度亦为O(n^2)。

算法适用范围：

1、单源最短路径问题；

2、Dijkstra算法要求图G无负权边，即对于任意(u,v)∈E，要求有ω(u,v)>=0；否则，对贪心策略的顶点选择会有影响；

证明：最短路径问题运用了贪心思想，即保证当前dist数组存储的是局部最优解。亦即是说，dist数组满足min(dist[i])(i=1,2,3,..,|V|)，是当前最优值。在图中边权非负的情况下，图满足上述性质，而存在负权边时则不满足，因为有可能从一个较大的dist值更新能得到一个比当前min(dist[i])(i=1,2,3,..,|V|)更优的值。

3、Dijkstra算法要求图G无负环，单源最短路问题对于有负环的图是无解的，但Dijkstra算法不能检测出负环。

贴上部分代码：

 

(C++ Code)

1   void Dijkstra(int s,int n)

//s为源点，n为点数

2   {

3      memset(dist,100,sizeof(dist)); 

4      memset(t,false,sizeof(t));

//t数组用于判断点是否在集合S中，若在，则t[i]=true;

5      for (int i=1;i<=n;i++)

6          dist[i]=map[now][I];

//初始化dist数组

7      dist[s]=0;

8      t[s]=true;

9      for (int i=1;i

10     {

11         int min=100;

12         for (int j=1;j<=n;j++)

13            if (!t[j]&&dist[j]

14            {

15                min=dist[j];

16                k=j;

17            }

18         t[k]=true;

           //将最近（轻）的点加入集合S中

19         for (int j=1;j<=n;j++)

20            if(!t[j]&&dist[k]+map[k,j]

21                dist[j]=dist[k]+map[k,j];

//以上为松弛过程，松弛边的操作其实就是更新当前k相邻点的dist值

22     }

23  }