【数学基础】这么多年过去了，排队组合里的用例和模式还分的清吗？

一

先来看一道常见的题目：

题目1：箱子中有编号为1-10的10个球，每次从中抽出一个记下后放回，如是重复3次，则3次记下的小球编号乘积是5的倍数的概率是多少？

解：10个球重复取3次，每次均有10种可能共有：

10^3=1000个

乘积是5的倍数->一定有一次取到了5号或者10号球。

那么乘积不是5的倍数->3次均没有取到5号和10号球，共有：

8*8*8=512个

故乘积为5的倍数的情况有：

1000-512=488个

概率为：

488/1000=48.8%

思考：

非常典型的排列组合概率题，用反例计算直接、简单，本质上是寻找符合某个特征的发生次数。

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二

改一个数字，题目的难度将显著上升：

题目2：箱子中有编号为1-10的10个球，每次从中抽出一个记下后放回，如是重复3次，则3次记下的小球编号乘积是6的倍数的概率是多少？

思考：题目从5的倍数变成6的倍数，情况复杂了。5的倍数只要取到5号或10号球即可，6的倍数不仅可以通过取6号球获得，还可以通过3、9号球和偶数乘在一起获得。

解：10个球重复取3次，每次均有10种可能共有：

10^3=1000个

下面分情况讨论：

（1）至少有1次取到6号球，使用反例法：

1000-9*9*9=271个

（2）没有取到6号球，同时有3号球和9号球，此时另外一个数字必是非6偶数（2、4、8、10），三个数字不一样，全排列有6种排列方式：

4*6=24个

（3）没有取到6号、9号球，有3号球和偶数球，继续分情况剖析：

a)2个3号球，1个非6偶数球（2、4、8、10），有3种排列方式：

4*3=12个

b)1个3号球，2个相同的非6偶数球（2、4、8、10），有3种排列方式：

4*3=12个

c)1个3号球，2个不同的非6偶数球（2、4、8、10），有6种排列方式：

C4^2*6=4*3/2*6=36

d)1个3号球，1个非6偶数球（2、4、8、10），1个非3非9奇数球（1、5、7），3个球不一样，6种排列方式：

4*3*6=72

共有12+12+36+72=132个

（4）没有取到6号、3号球，有9号球和偶数球，结果与（3）相同，132个

一共有271+24+132+132=559个

概率为559/1000=55.9%

编程测试，1亿次独立实验，概率为55.9012%：

int OneSolution()

{a1=rand()%10+1;

a2=rand()%10+1;

a3=rand()%10+1;

return (a1*a2*a3)%6;}

思考：由于6的倍数情况负杂，组合难以算清，这种解法是将组合问题考虑成排列，穷举所有情况。由此可见：

（1）组合是排列中每个数字等概率出现的特殊情况，排列可能性/全排列数

（2）若存在数字组合出现概率不同时，组合要分情况讨论，将每一种的排列可能性/该情况的全排列数

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三

发散思考：排列组合中，用例（case）和模式（pattern）的概念

盒子里有一黑一白两个小球，有放回的取3次：

对用例（case）来说

可能性有2^3=8个

白白白、白白黑、白黑白、白黑黑

黑白白、黑白黑、黑黑白、黑黑黑

每种用例出现的概率相同，均为1/8

对模式（pattern）来说：

只有4种

全黑：概率1/8

全白：概率1/8

一黑两白：概率3/8

两黑一白：概率3/8

用例（case）有一点排列的意思，有顺序的要求；模式（pattern）有一点组合的意思，没有顺序。

启示：

思考概率时，要基于用例（case）的个数判断，不能和模式（pattern）混为一谈。例如美国大选，要么川普获胜，要么希拉里获胜，从模式（pattern）上只有两种可能，但是每种模式（pattern）的概率是不同的。

用模式（pattern）分类思考时，需要将每种模式（pattern）乘以自己的排列可能，然后累加，才能获得用例（case）的个数。否则会遗漏情况。