HDU - 6363 bookshelf (数论+莫比乌斯反演)

数学题   我不会  我不会   

莫比乌斯反演   啥玩意  嘤嘤嘤

 题意：  

把n本书放到k层的书架上，每一层的美丽值为bi=2^f[cnt]−1，其中cnt是这一层书的数量，f[x]为斐波那契数列，整个书架的美丽值为gcd(b1,b2,...,bk)，问整个书架的美丽值的期望

思路：   什么数论结论  简单可得   我怎么什么都不知道 

如何求f(g)    一开始的想法是  将n本书  每g本为一组  那么n本书分组后  就有 n/g组  然后用隔板法

k个书架可以用  k-1个隔板 分出   那么总共的位置就有 n/g+k-1个

那么分法的个数就是组合数     但仔细一想会发现 里面包括了gcd是g的倍数的所有情况

那么现在令F(g)为gcd是g的倍数的所有情况  即F(g)=

我们可以发现F(g)=f(g)+f(2g)+f(3g)+....    =    f(y);

接下来我们就要了解莫比乌斯反演这玩意

证明 面向csdn吧       这时就能发现  上述的公式满足倍数的莫比乌斯反演

那么就可以得到

 

那么我们只要枚举每个gcd  然后枚举每个gcd的所有倍数 就能算出答案   那么u怎么求   套莫比乌斯的板子吧

代码：

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 1e6 + 5;
const LL mod = 1e9 + 7;
const LL mm = 1e9 + 6;

LL inv[maxn * 2 + 5],fac[maxn * 2 + 5];
bool check[maxn];
LL prime[maxn],mu[maxn],f[maxn],n,k;

LL exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y){
    if(a == 0 && b == 0) return -1;
    if(b == 0){
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b,a % b,y,x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
//求逆元
LL rev(LL a,LL n){
    LL x,y;
    LL d = exgcd(a,n,x,y);
    return (x % n + n) % n;
}
void init_inv(){
    fac[0] = 1;
    //预处理阶乘
    for(LL i = 1;i < 2 * maxn;++i) fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
    //预处理阶乘的逆元
    inv[2 * maxn - 1] = rev(fac[2 * maxn - 1],mod);
    for(LL i = 2 * maxn - 2;i >= 0;--i){
        inv[i] = (i + 1) * inv[i + 1] % mod;
    }
}
//求组合数
LL C(LL a,LL b){
    LL m = a,n = b;
    return ((fac[n] * inv[m]) % mod * inv[n - m]) % mod;
}
void init(){
    f[0] = 0,f[1] = 1;
    for(int i = 2;i < maxn;++i){
        f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % mm;
    }
}
// 莫比乌斯反演求 u函数
void mobius(){
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for(LL i = 2;i < maxn;++i){
        if(!check[i]){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0;j < tot;++j){
            if(i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if(i % prime[j] == 0){
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else mu[i * prime[j]] = -mu[i];
        }
    }
}
LL qmod(LL a,LL n){
    LL ret = 1;
    while(n){
        if(n & 1) ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        n = n>>1;
    }
    return ret;
}

int main(){
    init_inv();
    mobius();
    init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        LL denominator = C(k-1,n + k - 1);
        denominator = rev(denominator,mod);
        LL ans = 0;
        //枚举每个gcd
        for(int i = 1;i <= n;++i){
            if(n % i) continue;
            LL div = i;
            LL contri = (qmod(2,f[div]) - 1 + mod) % mod;
            LL cnt = 0;
            //枚举每个gcd的倍数
            for(LL j = div;j <= n;j += div){
                if(n % j) continue;
                LL d = j;
                cnt += mu[d / i] * C(k-1,n / d + k - 1) % mod;
                cnt = (cnt % mod + mod) % mod;
            }
            ans += contri * cnt % mod;
            ans %= mod;
        }
        ans = ans * denominator % mod;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}