欧几里得算法

欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。

算法描述：$$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$$

运行实例:
输入a=15,b=10
$$gcd(a,b)=gcd(15,10)=gcd(10,5)=gcd(5,0)$$
对于一个非零数和0的最大公约数一定是非零数本身。于是$gcd(5,0)=5$

根据欧几里得算法得出我们在上述过程中最大公约数没有改变，于是得出gcd(15,10) = 5
同时可以证明在4.785lgN + 1.6723步之类，之内必定会有b会成为0，而b为0恰好就是递归的结束条件。就可以在之内寻找到a和b两个数的最大公约数，所以这是一个高效的寻找最大公约数的算法。
算法证明：
先介绍一个竖线这个符号，a|b 表示a整除b。
$$\begin{gathered} 设z|x,z|y则z|(y-x) \\ a\ast z=x \\ b\ast z=y \\ (a-b)\ast z=(y-x) \end{gathered}$$
所以如果z如果是x，y的因子，则z一定是y-x的公因子，所以可以发现换成数学表述形式就是

$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

代码实现：

int gcd(int a,int b){
	if(b == 0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

拓展欧几里得算法是用来在已知(a,b)时，求解一组(p,q)，使得$a\ast x+b\ast y=c$
首先根据裴蜀定理可以证明解一定存在，这不是本文的重点，于是有兴趣的可以自行查阅资料。
定理1： 对于方程$a\ast x+b\ast y=c该方程等价于a\ast x\equiv c(modb)$，该方程有整数解的充要条件是gcd(a,b)|c
我们再回顾上面欧几里得算法的实现过程
\begin{align}
\because gcd(a,b)=gcd(b,a%b)\
\therefore pa+qb & = gcd(a,b)\
& = gcd(b,a%b) \
& = pb+q(a%b) \
& = pb+(b-a/bq)*b \
\end{align}