「BJOI 2019」排兵布阵

传送门

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problem

小 C 正在玩一款排兵布阵的游戏。在游戏中有 $n$ 座城堡，每局对战由两名玩家来争夺这些城堡。每名玩家有 $m$ 名士兵，可以向第 $i$ 座城堡派遣 $a_i$ 名士兵去争夺这个城堡，总士兵数不超过 $m$。

如果一名玩家向第 $i$ 座城堡派遣的士兵数严格大于对手派遣士兵数的两倍，那么这名玩家就占领了这座城堡，获得 $i$ 分。

现在小 C 即将和其他 $s$ 名玩家两两对战，这 $s$ 场对决的派遣士兵方案必须相同。小 C 通过某些途径得知了其他 $s$ 名玩家即将使用的策略，他想知道他应该使用什么策略来最大化自己的总分。

由于答案可能不唯一，你只需要输出小 C 总分的最大值。

数据范围：$1\le s\le 100$，$1\le n\le 100$，$1\le m\le 20000$。

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solution

这道题其实挺水的。

对于第 $i$ 场比赛的第 $j$ 个人，假设他派出了 $a_{i,j}$ 的兵，那么可以花费 $2a_{i,j}+1$ 的代价获得 $i$ 的贡献。

由于有多个人，对于两个不同的人 $j$ 和 $k$，如果 $a_{i,j}<a_{i,k}$，那么花费 $2a_{i,k}+1$ 的代价可以同时获得两个人的贡献。所以说我们要做一个前缀和，即统计用当前的代价能获得的总贡献。

于是，问题转换成了：有 $n$ 组物品，每组有 $s$ 个物品，每个物品有代价和价值。现在要在总代价 $\le m$ 的情况下，从每组中选出一个，使总价值最大。

这就是分组背包模板题啦。时间复杂度 $O(snm)$，不过常熟很小。

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code

#include
using namespace std;
const int N=105,M=20005;
int s,n,m,a[N][N],v[N],w[N],val[M],f[M];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&s,&n,&m);
	for(int j=1;j<=s;++j)
		for(int i=1;i<=n;++i)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int tot=0,last=0;
		memset(val,0,sizeof(val));
		for(int j=1;j<=s;++j)  val[a[i][j]<<1|1]+=i;
		for(int j=1;j<=m;++j){
			if(!val[j])  continue;
			val[j]+=val[last],last=j,v[++tot]=j,w[tot]=val[j];
		}
		for(int j=m;j>=0;--j)
			for(int k=1;k<=tot;++k)
				if(j>=v[k])  f[j]=max(f[j],f[j-v[k]]+w[k]);
	}
	printf("%d\n",f[m]);
	return 0;
}