hdu6309 Absolute 容斥

既然是期望，可以化成积分形式，变成
$${\int }_{l_1}^{r_1}{\int }_{l_2}^{r_2}...{\int }_{l_n}^{r_n}|x_1+x_2+x_3+...+x_n|d{x}_{1}d{x}_{2}d{x}_3...d{x}_n$$
分母是${\prod }_{i=1}^n(r_i-l_i)$
然后这东西显然非常难做x
但是我们发现$n$只有$15$
我们就可以考虑容斥，但是这个绝对值让我们完全不会怎么对$x_1,x_2,...,x_n$容斥
然后租酥雨写了份详细的手写版，于是学会了
$$|x|=max(x,0)-min(x,0)$$
我们可以设$S_i$为$x_1+...+x_n$
那么可以化为
$${\int }_{l_1}^{r_1}...{\int }_{l_n}^{r_n}max(S_n,0)d{S}_n...d{S}_1$$
这里体会一下意思就好了，被积的东西不是很正确（但是又不太会表达，主要是要满足偏序，所以还要除以一个东西
对于$min(x,0)$同理
你可以对下界容斥
因为
$$\frac{{\int }_l^{r}xdx}{r-l}=\frac{{\int }_{l-k}^{r-k}xdx+k}{r-l}$$
这里直接积分就可以证明，所以我们可以把上界统一移到$0$
因为我们容斥至少有$K$个数不满足下界，也就是在$[-\infty ,l_i]$之间
那么式子就会变成
$${\int }_{-\infty }^0...{\int }_{-\infty }^0{S}_n+\sum _{i=1}^n(select[i]?r_i:l_i)d{S}_n...d{S}_1$$
这时候大力积分就会变成（因为$S_i$之间要满足偏序关系，于是要除以分母）
$$\frac{({\sum }_{i=1}^n(select[i]?r_i:l_i){)}^{n+1}}{(n+1)!}$$
然后我们就大力dfs就好了

#include 
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using namespace std;

int const mod = 998244353;

int KSM(int a, int k) {
	int ret = 1;
	for (; k; k >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
		if (k & 1)
			ret = 1ll * ret * a % mod;
	return ret;
}

int l[20], r[20];
int n;

void dfs(int k, int s, int f1, int f2, int& ans1, int& ans2) {
	if (k > n) {
		if (s > 0) 
			ans1 = (1ll * ans1 + 1ll * f1 * KSM(s, n + 1) % mod) % mod;
		if (s < 0) 
			ans2 = (1ll * ans2 + 1ll * f2 * KSM(-s, n + 1) % mod) % mod;
		return;
	}
	dfs(k + 1, s + l[k], -f1, f2, ans1, ans2);
	dfs(k + 1, s + r[k], f1, -f2, ans1, ans2);
}

int main() {
	cin >> n;
	int fm = KSM(n + 1, mod - 2);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		cin >> l[i] >> r[i];
		fm = 1ll * fm * KSM(r[i] - l[i], mod - 2) % mod * KSM(i, mod - 2) % mod;
	}
	int ans1 = 0, ans2 = 0;
	dfs(1, 0, 1, -1, ans1, ans2);
	cout << (1ll * (ans1 - ans2) % mod * fm % mod + mod) % mod << '\n';
}