高等数学上：微分中值定理，洛必达法则
此讲包括的内容很多，有闭区间上连续函数的零点存在定理，介值定理，还有微分中值定理中的费马定理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理
首先讲讲最基本的，零点存在定理和介值定理以及最值定理
最值定理：
内容：若一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么它一定在区间[a, b]上存在最大值M和最小值m。
这个定理比较直观
介值定理：
内容：若一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么对于任意[a, b]之间的一个点e，都有m <= f(e) <= M；其中m, M是区间[a, b]上的最小值和最大值。
这个定理是建立在最值定理之上的。也很显然。
通俗来讲，某一个区间内的函数值，肯定大于等于该区间内的最小值，肯定小于等于该区间内的最大值。
这两个定理虽然感觉是显而易见的，但要证明却不是很好证，涉及到实数的完整性，我们这里就不证了。
零点存在定理：
内容：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，如果有f(a) * f(b) <0，那么在[a, b]之间一定存在一点k，使得f(k) = 0。
很容易发现，这个定理就是介值定理的一个特殊情况。
简单证明一下：
因为有介值定理
所以f(x)在闭区间[a, b]上一定存在最大值M和最小值m；
那么因为此时有f(a) * f(b) <0
假设f(a) < 0， f(b) > 0；
那么最大值M >= f(b)；最小值m <= f(a)；
又因为 f(b)为正，f(a)为负
所以M必定为正，m必定为负！
因此，根据介值定理，闭区间内任意一点e，满足m <= f(e) <= M
即f(e)介于一个正数和一个负数之间，又因为函数连续
所以必定存在一点k，有f(k) = 0；
好，那么到此第一部分闭区间上连续函数的几个性质就讲完了，现在进入微分中值定理：
在介绍费马定理之前，我们先介绍一下极大值和极小值的概念：
极大值与极小值：
定义：如果函数f(x)在x0点处，存在一个邻域U(x0, e)，使得在这个邻域内的所有x对应的函数值f（x） >= f（x0），那么我们就把函数f（x0）称为函数在x0处的极小值，x0就是极小值点。如果这个邻域内的所有x对应的函数值f（x） <= f（x0），那么我们就把函数f（x0）称为函数在x0处的极大值，x0就是极大值点。
这个定义十分严谨，好好理解之后我们就可以辨别如下容易混淆的问题了
比如：
函数y = 1在[0, 2]上有没有极大值呀？
答案是：有！ 因为根据定义，因为根据极值的定义，大于等于和小于等于即可，所以常函数上面一定是有极大值和极小值的！
再注意一点：只要存在一个邻域就可以了，如果是对于所有的邻域都有大于等于或小于等于关系，那很明显，就成了最大值或最小值了！
因此，由极值的定义，我们可以得出，最值也是极值，但极值不一定是最值。
费马定理：
内容：若函数f(x)在x0处可导，并且x0是函数f(x)的一个极值点，那么f(x)在x0处的导数一定为0。
几何意义：
极值点的切线是水平的。
定理证明：（根据左右导数和导数的定义）
对于一个极值点，不妨假设x0是极大值点（极小值证明完全一样）
那么，根据导数的定义：x0处的左导数为 = [ f(x) - f(x0) ] / [x - x0];
因为是左导数，所以此时的x小于x0，又因为f(x0)极大值
分母一定是负数，分子也是负数，最后的结果是一个非负数
结论1：x0处左导数为非负数
同理：x0处的右导数一样通过导数的定义算出，右导数是非正数！
由题目条件，函数在x0处可导，因此左右导数必然都相等
所以，左导和右导肯定都为0！
因此，x0处的导数为0！
罗尔中值定理：（重要）
我觉得它是三大微分中值定理中最重要的，是推导拉格朗日和柯西定理的基础
内容：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，那么在区间(a, b)内必然存在一点k，使得f(x)在k这一点的导数为0。
几何意义：
如果满足条件，那么区间内肯定存在一点的切线水平。
证明：（运用费马定理）
首先关键条件f(a) = f(b)；
那么说明，这个函数f(x)只可能有两种情况：
1.水平直线，常函数。2。有起伏的连续光滑曲线
如果是情况1：很明显，里面每一个点，都有导数为0，因为每一个点都可以做极值
因此每一个点都是满足费马定理的。
重点是情况2：
因为函数是闭区间上的连续函数，所以满足最值定理，即一定存在最大值M与最小值m
且M≠m，并且最大值和最小值至少有一个不在a, b取。否则就变成情况1了
因此，最大值M与最小值m都是极值点，即此时函数内部存在至少一个极值点
根据费马定理，得出结论，那个极值点的位置，导数为0。
所以，综上所述，罗尔定理是正确的。
接下来，我们看看罗尔中值定理的推广，拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理：
罗尔定理有三个条件，这里拉格朗日没有第三个必须f(a) = f(b)。只要满足前两个即可存在，所以也被称为罗尔中值定理的推广。
内容：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么区间(a, b)内一定存在一点k， 使得f '(k) = [f(b) - f(a)] / (b - a);
几何意义：
如果满足条件，那么区间内肯定有一点的切线斜率等于ab连线的斜率
定理证明：（运用罗尔中值定理）
运用罗尔定理证明的一般方法，因为式子里面出现了导数，我们就可以构造一个函数
F'(x) = f'(x) - [f(b) - f(a)] / (b - a);
∴F(x) = f(x) - [f(b) - f(a)] * x / (b - a);
将x = a与x = b带入，我们发现F(a) = F(b)；
因此F(x)满足了罗尔中值定理
所以至少存在一点F'(k) = f'(k) - [f(b) - f(a)] / (b - a) = 0;
所以至少存在一点：f '(k) = [f(b) - f(a)] / (b - a);
即，拉格朗日定理是正确的。
柯西中值定理：
内容：若函数f(x), g(x)都是闭区间[a, b]的连续函数，且为开区间(a, b)可导，并且对于任意的x∈(a, b)都有g’(x) != 0，那么则有：f'(k) / g'(k) = f(b) - f(a) / g(b) - g(a)；
几何意义：
相当于参数方程版的拉格朗日定理。
定理证明：（还是根据罗尔中值定理）
因为涉及到导函数，所以还是想到用罗尔定理
将原式改写成：
我们即证这个等式成立即可
f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)] = 0;
那么我们构造一个函数F'(x) = f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)] ；
又因为带入数值有：F(a) = F(b)（可以代入自行验证）
那么就说明F(x)满足罗尔中值定理
因此F'(x) = 0；即f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)] = 0;等式成立
那么现在证明还没完，我还要证g'(x)与[g(b) - g(a)]不等于0，那么我才能放到分母
因为g'(x) != 0是题目条件
然后我们再对g(x)函数用罗尔中值定理，因为它每一点的g'(x) != 0
因此，g(a) != g(b)不满足罗尔定理条件
所以，综上所述，g'(x)与[g(b) - g(a)]是可以放到分母位置的
再变形即为柯西中值定理了！
以上就是微分中值定理的基本内容了，接下来简要谈谈洛必达法则。
洛必达法则：
#主要内容：
若一个极限的形式为不定型极限，那么它的极限等于 （分子求导） / （分母求导）的极限。 但若（分子求导） / （分母求导）的极限不存在，原极限也可能存在。
洛必达法则是一种很方便的求不定型极限的一种方法。如果待求极限属于0/0型或∞/∞型，那么我们就可以用洛必达法则来求极限。
比如lim x->0 tanx / x这个就是一个典型的0 / 0型极限。它是可以用洛必达法则解的，极限应该为1。这里用等价无穷小可能更方便。
洛必达法则的证明这里就不证了，用到柯西中值定理。我们主要掌握其用法即可。
洛必达法则使用三项注意：
1.非不定型的极限不可使用该法则。
2.洛必达法则的条件是一个充分条件，非必要。即，如果我们求出上导/下导的极限不存在
那么也不能说明原极限不存在！这是很容易误解的一个点。此时洛必达法则是失效的
3.运用过程中可以结合讲过的等价无穷小替换等方法综合解题。
但实际情况中我们可能会碰到一些其他不定型：（基本思路，转换为基本不定型）
一、0 * ∞型：
可以将0写成1 / ∞ 或将∞写成1 / 0，进而就化为基本不定型
二、∞ - ∞型：
直接通分即可化为0 / 0型
三、0^0
指数类型：
那么一般考虑的是取对数，将指数化成乘积形式：
原理公式：a^b = e^(lna^b) = e^(b*lna)；
然后指数就可以化为基本不定型了。