莫比乌斯函数计算（模板）

莫比乌斯函数定义

μ(n)=⎧⎩⎨⎪⎪1(−1)k0(n=0)(n=p1p2...pk,∀pi!=pj)(others) μ ( n ) = { 1 (n=0) ( − 1 ) k ( n = p 1 p 2 . . . p k , ∀ p i ! = p j ) 0 ( o t h e r s )

莫比乌斯函数计算

直接计算，只需要对n做一次唯一分解就可以了，复杂度 O(n−−√) O ( n )

#include
using namespace std;

const int maxn=100005;

int main(){
    int n,m,k;
    while(scanf("%d",&n)==1){
        m=sqrt(n)+0.5;
        k=0;
        bool ok=true;
        for(int i=2;i<=m;++i){
            if(n%i==0){
                int tmp=0;
                while(n%i==0){
                    n/=i;
                    ++tmp;
                }
                if(tmp>1){
                    ok=false;
                    break;
                }
                else k+=tmp;
            }
        }
        if(n>1) ++k;
        if(ok) printf("%d\n",(k&1)?-1:1);
        else puts("0");
    }
    return 0;
}

线性筛选

#include
using namespace std;

const int maxn=10000005;

bool vis[maxn];
int prim[maxn];
int mu[maxn];
int cnt;

void get_mu(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prim[++cnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt && prim[j]*i<=n;j++){
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0) break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
}

莫比乌斯函数的常用性质

∑d|nμ(d)={10(n=1)(其它) ∑ d | n μ ( d ) = { 1 (n=1) 0 ( 其 它 )

∑d|nμ(d)d=phi(n)n ∑ d | n μ ( d ) d = p h i ( n ) n

反演公式

对于函数 F(n) F ( n ) 和 f(n) f ( n ) 满足

F(n)=∑d|nf(d) F ( n ) = ∑ d | n f ( d )

那么就有

f(n)=∑d|nu(d)F(nd) f ( n ) = ∑ d | n u ( d ) F ( n d )

或者若满足

F(n)=∑n|df(d) F ( n ) = ∑ n | d f ( d )

就有

f(n)=∑n|du(dn)F(d) f ( n ) = ∑ n | d u ( d n ) F ( d )