有向图的最短路径问题（一）——Floyd算法

关于最短路径问题最常用的例子就是旅行问题了——小哼准备去一些城市旅游。有些城市之间有公路，有些城市之间则没有，如下图。为了节省经费以及方便计划旅程，小哼希望在出发之前知道任意两个城市之前的最短路程。（例子来自http://wiki.jikexueyuan.com/project/easy-learn-algorithm/floyd.html）

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对于最短路径问题，若是不带权重图可使用广度优先搜索来解决，对于 加权图有两种解决算法——可以求出任意两点间最短距离的Floyd算法和求某一点到任一点之间最短距离的Dijkstra算法。这里先介绍Floyd算法

Floyd算法

对于上述的旅行最短路径问题，首先我们需要初始化一个矩阵（邻接矩阵？）来储存图的信息。如下，横坐标表示起点，纵坐标表示终点，如e[2][3]表示从2号城市到3号城市的距离为3。其中，起点与终点相同时距离为0，无直达路径的初始化为无穷大（在实际中这个值只要大于最大路径之和即可），如e[2][1]=∞。

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现在我们得到了各个直达城市之间的距离图，但是直达有时并不能表示他就是最近的，例如从1号到3号直达距离为6，但是经过2作为中转站后距离缩短为5。因此我们需要计算出任意两个城市之间的最短距离就需要将中转这种情况考虑进去。
首先我们仅考虑允许使用1号城市作为中转站的情况来更新这个距离表。我们可以将城市之间的有向边看做向量来相加，这样可能更好理解。比如begin表示起点，end表示终点那么向量[begin][end]=[begin][1]+[1][end]。以1号作为中转站更新距离的代码为：

#e表示初始矩阵
#这里i表示对起点的遍历
for i in range(4):
    #这里j表示对终点的遍历
    #因此e[i][j]就表示遍历了所有的城市
    for j in range(4):
        update = e[i][1]+e[1][j]
        if e[i][j] > update:
            #直达的值小于经过了1号中转站的值则更新距离矩阵
            e[i][j]=update

1号中转站的更新结果

这时我们已经更新了以1号作为中转站的各个城市的最短距离（此时矩阵已不再表示各个城市的直达距离）。我们接着在以2号作为中转站来更新各个城市之间的距离（值得注意的是我们此时使用的矩阵已经是以1号作为中转站更新过的，也即我们此时在更新的过程中可能会用到1号更新过的距离，表示此时同时使用了1号和2号作为中转站，当然也可以只使用2号作为中转站）。代码如下：

for i in range(4):
    for j in range(4):
        update = e[i][2]+e[2][j]
        if e[i][j]>update:
            e[i][j]=update        

比较以1号和2号作为中转站更新的代码我们可以知道，只要再嵌套一个循环即可表示已所有的城市作为中转站来进行更新，代码如下：

#k表示作为中转站的城市
for k in range(4):
    #i同样表示起点
    for i in range(4):
        #j表示终点
        for j in range(4):
            update = e[i][k]+e[k][j]
            if e[i][j]>update:
                e[i][j]=update

如上，仅仅几行代码便可实现Floyd算法。由于使用了三层嵌套，因此Floyd算法的时间复杂度为O(n**3)，效率很低，但是Floyd算法容易理解和实现，且对于顶点相同的一组图，他的边增多对他的效率没有影响，只与顶点数相关。
同时，Floyd算法也体现了动态规划的思想，比较update与原e[i][j]这个式子可以看作是状态转移公式。