离散数学第一部分（一、三、六）

第一章 命题与命题公式

一、命题与命题联结词

（1）、设A为一个命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。

（2）、设A为一个命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。

（3）、设A为一个命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A为可满足式。

二、等值演算与联结词完备集

（1）、{┐，∨}，{┐，∧} 是 最小联结词完备集。

{┐，∧，∨，→，<—>}
{┐，∧，∨，→}
{┐，∧}
{┐，∨}
{┐，→}

（2）、{↑}，{↓} 是 联结词完备集。
↑ 命题的 “与非 ” 运算 ， ↓ 命题的 “或非 ”运算

（3）、合取 ∧
自然语言中的“并且”，其根本含义是表示两件事情同时成立。
类似词语：“即···，又···。”，“不但···，而且···。”，“虽然···，但是···。”

（4）、析取 ∨
自然语言中的“或”，即两者并不互相排斥，可能同时成立。

（5）、条件 →
Q → P，当前件没有发生即P为F时，后件发生或不发生都没有关系。

（6）命题定律

名称	公式
吸收律	A ∨ （A ∧ B） <=> A，A ∧ （A ∨ B） <=> A
德摩根律	┐（A ∨ B） <=> ┐A ∧ ┐B ，┐（A ∧ B） <=> ┐A ∨ ┐B
同一律	A ∨ F <=> A，A ∧ T <=> A
零律	A ∨ F <=> T，A ∧ F <=> F
徘中律	A ∨ ┐A <=> T
否定律	A ∧ ┐A <=> F
蕴涵等值式	A → B <=> ┐A ∨ B
等价等值式	A <—> B <=> （A → B）∧（B → A）
假言易位	A → B <=> ┐B → ┐A
等价否定等值式	A <—> B <=> ┐A <—> ┐B
归谬论	（A → B）∧（A → ┐B）<=> ┐A

第二章 命题逻辑的推理理论

一、范式

（1）、小项或大项：其中每个命题变元与它的否定不能同时存在，但该命题变元必须出现且出现一次，或以变元的形式，或以变元的否定形式。

小项：a∧b∧c∧d∧f，简单合取式，有2^N个小项。
每个小项有一个成真赋值，有2^N -1种成假赋值。
任意两个不同小项的合取式为矛盾式。
全体小项的析取式为重言式。

大项：a∨b∨c∨d∨f，简单析取式。
每个大项有一个成假赋值，有2^N -1种成真赋值。
任意两个不同大项的析取式为重言式。
全体大项的合取式为矛盾式。

（2）、主析取范式：由小项的析取所组成。
主合取范式：由大项的合取所组成。

若A可化为与其等价的含2^N个小项的主析取范式，则A为重言式。
若A可化为与其等价的含2^N个大项的主合取范式，则A为矛盾式。
若A的主析取范式中至少含有一个小项，或A的主合取范式中最多含有2^N -1个大项，则A为可满足式。

（3）、推理规则
前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可以引入前提，P规则。
结论引入规则：在证明的任何步骤上，所证明的结论都可作为后续证明的前提，称为T规则。
转换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换，称为T规则。

H∧H∧H∧····∧H → C 是 H∧H∧H∧····∧H ├ C的充分必要条件。
若H∧H∧H∧····∧H∧R => C,则H∧H∧H∧····∧H => R → C。
若H，H，H，····，H，R ├ C,则H，H，H，····，H├ R → C。
CP规则

二、等值演算和推理演算

（1）、推理定律表

I编号	公式
1-2	A ∧ B => A，A ∧ B => B
3-4	A => A ∨ B，B => A ∨ B
5-6	┐A => A → B，B => ┐A → B
7-8	┐（A → B） => A，┐（A → B） => ┐B
9	A，B => A ∧ B
10	┐A，A ∨ B => B
11	A，A → B => B
12	┐B，A → B => ┐A
13	A → B，B → C => A → C
14	A ∨ B， A → C，B → C => C
15	A → B => （A ∨ B） → （B ∨ C）
16	A → B => （A ∧ B） → （B ∧ C）

第六章 代数系统的一般概念

一、幺元、零元、逆元

（1）、幺元（单位元）：既是左幺元，又是右幺元。
e * x = x
x * e = x

（2）、零元：既是零元，又是零元。
o * x = o
x * o = o

（3）、设代数系统< A，*>中，e是关于运算 * 的单位元。若对A中某个元素a，存在A的一个元素b，使得b * a = e，则称b为a的左逆元；若 a * b= e，则称b为a的右逆元；若元素b既是a的左逆元，又是a的右逆元，则称b为a的一个逆元a^-1。

（4）、两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数也相同，且代数常数的个数也相同，则称两个代数系统具有相同的构成成分，也称为同类型的代数系统

注：同类型的代数系统，其运算性质不一定相同。

二、群与半群

（1）、半群
V = 是代数系统，* 是集合S上的二元运算，运算 *是封闭、可结合的，则称V为半群。

∀ a，b，c ∈ S，a * b ∈ S
a * （b * c）= （a * b） * c

若中存在一个幺元，则称为独异点。

（2）、群
设是独异点，其中G是非空集合，* 是G上的二元运算，对于∀ x∈ G 都有 x^-1 存在，则称是一个群。

群 需满足条件：封闭性、结合律、存在幺元、每个元素都要有逆元。

（3）、有限群
设是一个群，如果G是有限集，则称为是有限群，G中元素的个数通常称为该有限群的阶数，记为| G |。

若群G中只含有一个元素，即G = {e}，| G | = 1，则称G为平凡群。该元素可看作幺元，也可看作零元。

（4）、非平凡群
是非平凡群，则群中不存在零元，| G | > 1。

（5）、交换群（Abel群）
设是一个群，若运算 * 在G上满足交换律，则称为是交换群。

（6）、元素的阶
设是群，e是幺元。对于a ∈ G，使得a^k = e，成立的最小正整数k称为a的阶，记作| G | ，a称为k阶元。

（7）、群的性质
设是群，∀ a，b ∈ G，∀ n，m ∈ Z有

（a^-1）^-1 = a；
（ab）^-1 = b^-1a^-1；
（aⁿ a^m） = a^n+m；
（aⁿ ）^m = a^nm；
若G为交换群，则（ab）ⁿ = aⁿbⁿ；

设是群，G满足消去律，∀ a，b ∈ G有

a * b = a * c ，则 b = c；
b * a = c * a ，则 b = c；

（8）、幂等元
在代数系统中，如果存在a ∈ G，a * a = a，称a为幂等元。
若运算 * 满足幂等律，G中的所有元素均是幂等元。

在群中，e是唯一的幂等元。

（9）、循环群
设是一个群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称为该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。

G = {a⁰ = e，a¹，a²，…，a^n-1}是n阶有限循环群。
G = {…，a^-1，a⁰ = e，a¹，a²，…，a^n-1}是无限循环群。

（10）、子群
设是一个群，H是G的非空子集，则H <= G 当且仅当

∀ a，b ∈ H，a * b ∈ ;
∀ a ∈ H，a^-1 ∈ H；

三、环与域

（1）、环
设是一个代数系统，+和 * 是二元运算，如果满足

是Abel群；
是半群；
运算*对于运算+是可分配的；

则称是一个环。

（2）、环的运算性质

a * 0 = 0 * a = 0；
a * （—b） = （ —a）* b = —（a * b）；
（ —a）* （—b）= a * b ;

（3）零因子
在环中，一个元素既是左零因子，又是右零因子，则称为零因子。

设是环，如果他既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称为为整环。

（4）域
设是一个整环，且| R | >= 2，若对∀ a ∈ R^* = R — {0}，都有a^-1 ∈ R，则称为是域。

四、证明满足群的定义

封闭性
对∀ a，b ∈ A，若a * b ∈ A，则称运算 * 关于集合A是封闭的。

结合律
对∀ a，b，c ∈ A，若（a * b）* c = a * （b * c） ，则称运算 * 在集合A上是可结合的。

交换律
对∀ a，b ∈ A，若a * b = b * a，则称运算 * 在集合A上是可交换的。

幂等律
对∀ a ∈ A，若a * a = a，则称运算 * 在集合A上是幂等的。

分配律
对∀ a，b，c ∈ A，若
a 。（b * c） = （a 。b） * （b 。c）
（b * c） 。a= （b 。a） * （c 。a）
则称运算 。 对运算 * 是可分配的。