区间dp顾名思义就是在一个区间上进行的一系列动态规划,一般就是通过将区间划分成更小的区间,在小的区间中找到最优解,或者是其他的某些操作
一:基本题型
一般区间dp主要涉及两类问题
1.区间最优解
一般是枚举区间的分界点,将区间分割,然后将子区间的最优解合并为原区间的最优解
2.区间计数
区间计数也要分割区间,而且要做到不重叠,不遗漏
总之,区间dp问题解决的关键就是区间的分割
二.例题分析
1.石子归并
题目描述:
描述 有N堆石子排成一排,每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆,每次合并花费的代价为这两堆石子的和,经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。
3 1 2 3 7 13 7 8 16 21 4 18
9 239
状态转移:dp[i][j]=min{dp[i][k]+dp[k+1][j]} k=(i~j-1)
ac代码:
#include
#include
#include
#define N 210
using namespace std;
int dp[N][N],sum[N];
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=-1)
{
sum[0]=0;
int m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&m);
sum[i]=sum[i-1]+m;
}
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int l=2;l<=n;l++)
{
for(int i=1,j=l;i<=n-l+1;j++,i++)
{
dp[i][j]=dp[i][i]+dp[i+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
for(int k=i+1;k
问题描述(poj 2955):给出一些一些括号,然后计算一下它的最大匹配
思路:括号的最大匹配也是区间dp中非常典型的问题,dp[i][j]表示区间i到j之间的最大匹配
状态转移方程:if(i与j匹配)dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
else dp[i][j]=max(dp[i][k]+dp[k+1][j]) k=(i~j-1)
ac代码:
#include
#include
#include
using namespace std;
char a[1005];
int dp[1005][1005];
int pos[1005][1005];
int main()
{
while(gets(a))
{
if(a[0]=='e')
break;
int len=strlen(a);
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=1;i
问题描述(poj 1141):不是让我们求出最大匹配,而是让我们求出最少再添加多少个能够使所有括号都匹配,并且将最后的括号情况输出一下
思路:第一步其实非常简单
添加个数=原来总数-匹配数(那剩下的再分别添加一个)
但是我们应该怎么输出呢?
这就需要我们在算最大匹配的过程中标记一些东西,vis[i][j]表示的是我们在计算区间i到j的过程中所取的最优分割点的位置,如果此时的i与j正好匹配的话vis[i][j]=-1,然后递归输出就可以了
ac代码:
#include
#include
#include
using namespace std;
char a[105];
int dp[105][105];
int vis[105][105];
void prin(int x,int y)
{
if(x>y)
return;
if(x==y)
{
if(a[x]=='('||a[x]==')')
cout<<"()";
else
cout<<"[]";
return;
}
else
{
if(vis[x][y]==-1)
{
cout<=dp[j][k])
{
dp[j][k]=dp[j][h]+dp[h+1][k];
vis[j][k]=h;
}
}
}
}
prin(0,len-1);
cout<
3.整数划分
问题描述:问题是我们经常见到的整数划分,给出两个整数 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 个乘号,将n分成m段,求出这m段的最大乘积
思路:其实和上边的题思路都差不多啦,都属于区间最优解的问题
状态转移方程:dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*data[k+1][i]) k=(j~i)
ac代码:
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
char a[25];
long long data[25][25];
long long dp[25][25];
int m;
int main()
{
int t;
cin>>t;
while(t--)
{
scanf("%s%d",a,&m);
m--;//可以在最后一位后边加上一个乘号,先减去
int len=strlen(a);
memset(data,0,sizeof(data));
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(int i=0;i