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分治

引文

MapReduce（分治算法的应用） 是 Google 大数据处理的三驾马车之一，另外两个是 GFS 和 Bigtable。它在倒排索引、PageRank 计算、网页分析等搜索引擎相关的技术中都有大量的应用。

尽管开发一个 MapReduce 看起来很高深，感觉遥不可及。实际上，万变不离其宗，它的本质就是分治算法思想，分治算法。如何理解分治算法？为什么说 MapRedue 的本质就是分治算法呢？

主要思想

分治算法的主要思想是将原问题递归地分成若干个子问题，直到子问题满足边界条件，停止递归。将子问题逐个击破(一般是同种方法)，将已经解决的子问题合并，最后，算法会层层合并得到原问题的答案。

分治算法的步骤

• 分：递归地将问题分解为各个的子问题(性质相同的、相互独立的子问题)；
• 治：将这些规模更小的子问题逐个击破；
• 合：将已解决的子问题逐层合并，最终得出原问题的解；

分治法适用的情况

• 原问题的计算复杂度随着问题的规模的增加而增加。
• 原问题能够被分解成更小的子问题。
• 子问题的结构和性质与原问题一样，并且相互独立，子问题之间不包含公共的子子问题。
• 原问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。

伪代码

def divide_conquer(problem, paraml, param2,...):
    # 不断切分的终止条件
    if problem is None:
        print_result
        return
    # 准备数据
    data=prepare_data(problem)
    # 将大问题拆分为小问题
    subproblems=split_problem(problem, data)
    # 处理小问题，得到子结果
    subresult1=self.divide_conquer(subproblems[0],p1,..…)
    subresult2=self.divide_conquer(subproblems[1],p1,...)
    subresult3=self.divide_conquer(subproblems[2],p1,.…)
    # 对子结果进行合并 得到最终结果
    result=process_result(subresult1, subresult2, subresult3,...)

举个栗子

​ 通过应用举例分析理解分治算法的原理其实并不难，但是要想灵活应用并在编程中体现这种思想中却并不容易。所以，这里这里用分治算法应用在排序的时候的一个栗子，加深对分治算法的理解。

相关概念：

• 有序度：表示一组数据的有序程度
• 逆序度：表示一组数据的无序程度

一般通过计算有序对或者逆序对的个数，来表示数据的有序度或逆序度。

假设我们有 n 个数据，我们期望数据从小到大排列，那完全有序的数据的有序度就是 $n(n-1)/2$，逆序度等于 0；相反，倒序排列的数据的有序度就是 0，逆序度是 $n(n-1)/2$。

Q：如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢？

因为有序对个数和逆序对个数的求解方式是类似的，所以这里可以只思考逆序对（常接触的）个数的求解方法。

• 方法1
  • 拿数组里的每个数字跟它后面的数字比较，看有几个比它小的。
  • 把比它小的数字个数记作 k，通过这样的方式，把每个数字都考察一遍之后，然后对每个数字对应的 k 值求和
  • 最后得到的总和就是逆序对个数。
  • 这样操作的时间复杂度是$O(n^2)$（需要两层循环过滤）。那有没有更加高效的处理方法呢？这里尝试套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数。
• 方法2
  • 首先将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2
  • 然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。
  • 注意使用分治算法其中一个要求是，子问题合并的代价不能太大，否则就起不了降低时间复杂度的效果了。
  • **如何快速计算出两个子问题 A1 与 A2 之间的逆序对个数呢？这里就要借助归并排序算法了。（这里先回顾一下归并排序思想）**如何借助归并排序算法来解决呢？归并排序中有一个非常关键的操作，就是将两个有序的小数组，合并成一个有序的数组。实际上，在这个合并的过程中，可以计算这两个小数组的逆序对个数了。每次合并操作，我们都计算逆序对个数，把这些计算出来的逆序对个数求和，就是这个数组的逆序对个数了。

算法应用

169. 多数元素

• 题目描述

  给定一个大小为 n 的数组，找到其中的众数。众数是指在数组中出现次数大于 [n/2] 的元素。

  你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在众数。

  示例 1:

  输入: [3,2,3]
  输出: 3
  

  示例 2:

  输入: [2,2,1,1,1,2,2]
  输出: 2
  

• 解题思路

  • 确定切分的终止条件

    直到所有的子问题都是长度为 1 的数组，停止切分。

  • 准备数据，将大问题切分为小问题

    递归地将原数组二分为左区间与右区间，直到最终的数组只剩下一个元素，将其返回

  • 处理子问题得到子结果，并合并

    • 长度为 1 的子数组中唯一的数显然是众数，直接返回即可。

    • 如果它们的众数相同，那么显然这一段区间的众数是它们相同的值。

    • 如果他们的众数不同，比较两个众数在整个区间内出现的次数来决定该区间的众数

• 代码

  class Solution(object):
      def majorityElement2(self, nums):
          """
          :type nums: List[int]
          :rtype: int
          """
          # 【不断切分的终止条件】
          if not nums:
              return None
          if len(nums) == 1:
              return nums[0]
          # 【准备数据，并将大问题拆分为小问题】
          left = self.majorityElement(nums[:len(nums)//2])
          right = self.majorityElement(nums[len(nums)//2:])
          # 【处理子问题，得到子结果】
          # 【对子结果进行合并 得到最终结果】
          if left == right:
              return left
          if nums.count(left) > nums.count(right):
              return left
          else:
              return right    
  

53. 最大子序和

• 题目描述

  给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

  示例:

  输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
  输出: 6
  解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大为6。
  

• 解题思路

  • 确定切分的终止条件

    直到所有的子问题都是长度为 1 的数组，停止切分。

  • 准备数据，将大问题切分为小问题

    递归地将原数组二分为左区间与右区间，直到最终的数组只剩下一个元素，将其返回

  • 处理子问题得到子结果，并合并

    • 将数组切分为左右区间

      • 对与左区间：从右到左计算左边的最大子序和
      • 对与右区间：从左到右计算右边的最大子序和

    • 由于左右区间计算累加和的方向不一致，因此，左右区间直接合并相加之后就是整个区间的和

    • 最终返回左区间的元素、右区间的元素、以及整个区间(相对子问题)和的最大值

• 代码

  class Solution(object):
      def maxSubArray(self, nums):
          """
          :type nums: List[int]
          :rtype: int
          """
          # 【确定不断切分的终止条件】
          n = len(nums)
          if n == 1:
              return nums[0]
  
          # 【准备数据，并将大问题拆分为小的问题】
          left = self.maxSubArray(nums[:len(nums)//2])
          right = self.maxSubArray(nums[len(nums)//2:])
  
          # 【处理小问题，得到子结果】
          #　从右到左计算左边的最大子序和
          max_l = nums[len(nums)//2 -1] # max_l为该数组的最右边的元素
          tmp = 0 # tmp用来记录连续子数组的和
          
          for i in range( len(nums)//2-1 , -1 , -1 ):# 从右到左遍历数组的元素
              tmp += nums[i]
              max_l = max(tmp ,max_l)
              
          # 从左到右计算右边的最大子序和
          max_r = nums[len(nums)//2]
          tmp = 0
          for i in range(len(nums)//2,len(nums)):
              tmp += nums[i]
              max_r = max(tmp,max_r)
              
          # 【对子结果进行合并 得到最终结果】
          # 返回三个中的最大值
          return max(left,right,max_l+ max_r)
  

50. Pow(x, n)

• 题目描述

  实现 pow(x, n)，即计算 x 的 n 次幂函数。

  示例 1:

  输入: 2.00000, 10
  输出: 1024.00000
  

  示例 2:

  输入: 2.10000, 3
  输出: 9.26100
  

  示例 3:

  输入: 2.00000, -2
  输出: 0.25000
  解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
  

  说明:

  -100.0 < x < 100.0
n是 32 位有符号整数，其数值范围是$[−2^{31}, 2^{31} − 1] $。

• 解题思路

  • 确定切分的终止条件

    对n不断除以2，并更新n，直到为0，终止切分

  • 准备数据，将大问题切分为小问题

    对n不断除以2，更新

  • 处理子问题得到子结果，并合并

    • x与自身相乘更新x
    • 如果n%2 ==1
      • 将p乘以x之后赋值给p(初始值为1)，返回p

  • 最终返回p

• 代码

  class Solution(object):
      def myPow(self, x, n):
          """
          :type x: float
          :type n: int
          :rtype: float
          """
         
          # 【确定不断切分的终止条件】
          if n == 0 :
              return 1
  
          # 【准备数据，并将大问题拆分为小的问题】
          if n%2 ==1:
            # 【处理小问题，得到子结果】
            p = x * self.myPow(x,n-1)# 【对子结果进行合并 得到最终结果】
            return p
          return self.myPow(x*x,n/2) if n >=0 else 1.0/self.myPow(x*x,-n/2)
  

参考资料

五大常用算法之一：分治算法

你不知道的 Python 分治算法