概率论与数理统计基础（一）:随机事件、概率与随机变量的期望、方差、切比雪夫不等式

目录

随机事件与概率

1.充要条件；      2.条件概率：   3. 全概率公式      4.贝叶斯公式

随机变量及其分布

1. 随机变量        2. 分布函数的三个基本性质：   3. 概率分布列：  

4. 数学期望:        5 期望的数学性质：           6. 方差：

7  期望的数学性质：      8  标准差                9 切比雪夫不等式【chebyshev's theorem】

10 随机变量的标准化          11 期望的另外两个性质：

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随机事件与概率

1.充要条件

A的充要条件是B，则充分性是:;     必要性是：

2.条件概率：

设A,B是两个事件，若 ,则称 为“在事件B发生的前提下，事件A发生的概率"

3. 全概率公式

设 互不相容，且  ,如果  ,则对任意事件A有.

4.贝叶斯公式

设 互不相容，且  ,如果 ,则

. 

其中 为 的先验概率， 为 的后验概率，表示在“事件A发生”这个新信息后，对 的概率作出的修正。

 

随机变量及其分布

1. 随机变量

• 离散型：仅取有限个或可列个值，
• 连续型：取值充满某个区间（a，b）其中a 可取  ，b可取。

2. 分布函数的三个基本性质：

单调性，有界性，右连续性

3. 概率分布列：

两个基本性质：1）非负性，2）正则性 ：   

离散型：

概率密度函数：

两个基本性质：1）非负性，2）正则性 ：

    零概率（概率为0）的事件不一定是不可能事件，因为连续变量的概率就在具体的某个点都为零。

       连续型的分布函数F(x)是（，）上的连续函数，（除可能在有限个点或可列个点上不可导以外）与概率密度函数p(x)的关系： 

4. 数学期望:

对于离散型随机变量：

对于连续型随机变量：

    期望是分布的位置特征，方差是分布的离散特征/散步特征。

5 期望的数学性质：

假定以下所涉及的数学期望与方差均存在：

• X的某一函数 的数学期望为:

【X离散时】：

【X连续】： 

• 若c是常数，则 
• 对任意常数a,有  
• 对任意的两个函数 和   ，有

6. 方差：

随机变量X对其期望 的偏差平方的数学期望,是分布的散布特征

7  期望的数学性质：

假定以下所涉及的方差均存在： 

• 若c是常数，则 
• 对任意常数a,b,有  
• 若随机变量X的方差存在，则 的充要条件是，X几乎处处为某个常数a, 即

8  标准差 

方差的正平方根 即为标准差；

9 切比雪夫不等式【chebyshev's theorem】

 设X的数学期望与方差都存在，则对任意常数 ，有

   或者 

切比雪夫不等式 给出了随机变量取值的大偏差（指事件 ）发生的概率的上限，该 上限与分布的方差成正比。

10 随机变量的标准化

对任意随机变量X,如果X的数学期望与方差存在，则称  为X的标准化随机变量，此时有

 

11 期望的另外两个性质：

• 设随机变量X的分布函数为 ，且 存在，则 
• 设g(x)为随机变量X取值的集合上的非负不减函数，且 存在，则对任意的 有

 

参考资料：

概率论与数理统计教程-茆诗松-第二版 ；习题与解答