0--1背包问题（动态规划）

1、问题描述：

     给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

例子：数据：物品个数n=5,物品重量w[n]={0，2，2，6，5，4},物品价值V[n]={0，6，3，5，4，6}

下面是算法分析的过程：

      其实这里就是选择装与不装的问题关键

　　（1）对于m[5][j]，当j=w[5]时，物品5可以放入背包，此时背包的价值为v[5]。得到结果如下表：       
         W            i        0         1        2          3          4         5           6           7         8          9           10         V

2	1												6
2	2												3
6	3												5
5	4												4
4	5	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6	6

       （2）在物品5的基础上分析物品4，

　　当j

　　当j>=w[4]时，物品4要么放入要么不放入。当物品4放入背包后，对于物品4+1到n，能达到的最大价值为m[4+1][j-w[4]]+v[4]，故此时能达到的最大价值为m[4+1][j-w[4]]+v[4]

　　当物品4不放入背包时，能达到的最大价值为m[4+1][j]。最后比较放入与不放入情况下，两者的最大值取其大者，分析结果如上表的橙色：

当W【4】>j时，则物品4不能放入，所以m（4，j）=m（5，j）且m（4，0--4）=m（5，0--4）

         W            i        0         1        2          3          4         5           6           7         8          9           10         V

2	1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	6
2	2												3
6	3												5
5	4	0	0	0	0	6							4
4	5	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6	6

当j>=4时，对物品4要么放入要么不放入，最优值得选择标准应依据总价值，总价值高的作为最优值，例如m（4，5），如果w4不放入的时候，原值，总价值为m（4+1，5）=6；

当w4放入的时候，则配合其前边的最优值，即w4放入，使剩下物品最大容量为j-w4，则背包最大容量为m（4+1，j-w4）的值为0再加上v4，然后再与前面不放入的m（4+1，5）作比较，发现m（4+1，j-w4）=4<m（4+1，5）=6,所以选择不放入，依次类推即可

         W           i        0         1        2          3          4         5           6           7         8          9           10          V

2	1												6
2	2												3
6	3												5
5	4	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10	4
4	5	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6	6

最后得出结果为：

                                   
       W            i        0         1        2          3          4         5           6           7         8          9           10           V

2	1	0	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15	6
2	2	0	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11	3
6	3	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11	5
5	4	0	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10	4
4	5	0	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6	6

#include
#include
using namespace std;
void Knapsack(int *v,int *w,int n,int c,int **m)
{
    int jMax=min(w[n]-1,c);///背包剩余量的上限(0~~w[n]-1)
    for(int i=0;i<=jMax;i++)
    {
        m[n][i]=0;
    }
    for(int j=w[n];j<=c;j++)///例如这里是当j>w[5]的时候，则装入该物品的价值
    {
        m[n][j]=v[n];
    }
    ///以上算是对最后一行符合条件的进行赋值
    for(int i=n-1;i>1;i--)///从下往上开始
    {
       jMax=min(w[i]-1,c);
       for(int j=0;j<=jMax;j++)///当不能装入的时候
        {
            m[i][j]=m[i+1][j];
        }
       for(int j=w[i];j<=c;j++)///当可以装入的时候
       {
            m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);
       }
    }
    m[1][c]=m[2][c];
    if(c>w[1])
    {
        m[1][c]=max(m[2][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);
    }
}

void TraceBack(int **m,int *w,int c,int n,int *x)
{
     for(int i=1;i
     {
         if(m[i][c]==m[i+1][c])///没有装入的时候
         {
           x[i]=0;
         }
         else///这里是能装进去的时候
         {
            x[i]=1;
            c-=w[i];
         }
     }
     x[n]=(m[n][c])?1:0;
}
int main()
{
    int c,n;
    cout<<"输入物品的总个数：";
    cin>>n;
    cout<"输入能装进物品的总重量:";
    cin>>c;
    int *w=new int[n];
    int *v=new int[n];
    int *x=new int[n];
    int **m=new int *[n];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        m[i]=new int[c];
    }
    cout<"输入每个物品分别所对应的重量：";
    for(int i=0;i<=n;i++)///输入物品的重量（注意，一开始我是以下标为1开始的，所以这里我输入的时候，下标0应该输入的是0）
    {
        cin>>w[i];
    }
    cout<"输入每个物品分别所对应的价值：";
    for(int i=0;i<=n;i++)///输入物品的价值（注意，一开始我是以下标为1开始的，所以这里我输入的时候，下标0应该输入的是0）
    {
        cin>>v[i];
    }
    cout<"输出每个物品的重量分别为如下："<
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<"号物品重量为:"<"Kg  "<<"其价值为:"<
    }
    Knapsack(v,w, n,c,m);
    cout<"输出背包能装的最大价值为："<
    TraceBack(m,w, c, n,x);
    cout<"输出能装入背包的先后次序如下："<
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(x[i]==1)
            cout<"号"<
    }
    return 0;
}

运行结果如下：