【抽象代数】伽罗瓦理论简介

伽罗瓦理论

一、正规扩域

在研究域 F 的代数扩张 E 时，首要的前提是扩域 E 是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是 F 的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质自行讨论，这里就先假定它的存在性。其次，不同的闭包之间并不一定是互通的，下面的讨论将回避这种“平行世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包$\Omega$中。

即使只在某个闭包中，满足特定条件的扩域总也有多种选择的方法，这种将域对应到闭包中的映射一般称为域的嵌入，不同的嵌入之间称为共轭域。它不仅给域找到了统一的闭包，还是研究扩域结构的重要方法（共轭域当然都保持 F 完全不变）。在前面构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取无关，它们互为共轭域。如果将单扩域嵌入到闭域中，每一种嵌入方法正好对应 $f(x)$ 的一个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌入的方法不同。

以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同一个单扩域中，我们自然要问：那么不同的分裂域嵌入还会有互异元素吗？更一般地，考察多项式集合$S\subseteq F[x]$的分裂域 $E$，假设 $E$ 同构于另一个分裂域$E\prime$且同构映射为$\sigma$。因为任何$f(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n)\in S$的系数在 F 中，所以总有 $\sigma (f(x))=f(x)$，所以$(\sigma (a_1),\cdots ,\sigma (a_n))$只是$(a_1,\cdots ,a_n)$的一个置换。由此若设 S的所有根为 R，则有以下推导过程，也就是说$E\prime$是$E$的自同构。
$$E^{\prime }=\sigma (E)=\sigma (F(R))=F(\sigma (R))=F(R)=E\text{\hspace{1em}(1)}$$

只有自同构共轭的域叫自共轭域，像分裂域这种保持 F 不变的域被称为 F-自共轭域。以上结论证明了：多项式集合的分裂域是自共轭域。容易证明自同构和 F-自同构都形成群，其中自同构群记作 Aut(E)，F-自同构群又叫伽罗瓦群，一般记作$Gal(E/F)$，这个群将是我们研究的重点。如果 E 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域，$Gal(E/F)$ 也叫多项式 $f(x)$ 的伽罗瓦群，记作$Gal(f)$或$Gal(f,F)$。

• 证明$Z,Q,R$只有恒等自同构，而 C 的自同构有无穷多个。

F-自共轭域体现了扩域的唯一性，而另外我们知道，代数扩域可以从任何代数元的单扩域开始。考察 F-自共轭的扩域 E 中任意不可约多项式 $f(x)$，如果它在 E 上有一个根 a，则 E 可以从$F(a)$开始生成。前面的讨论中已知，它共轭于一个从$F(a\prime )$生成的扩域（a′为$f(x)$的另外一个根），由F-自共轭域的唯一性可知$a\prime \in E$，故$f(x)$在$E$中是分裂的。对任意不可约多项式$f(x)\in F[x]$，若它有根在扩域 E 中，必能得出其它根也在 E 中，这种扩域叫正规扩域（要注意，若$f(x)$在$E$没有根，并不意味$f(x)$在$E$中不可分解）。刚才的结论就是说F-自共轭域是正规扩域，还容易证明正规扩域可以看成是其所有可分裂多项式的生成域，结合前面的结论，以下三个命题是等价的（E为 F 的代数扩域）。
　　（1）E是F的正规扩张；
　　（2）E是F[x]中某个多项式集合的分裂域；
　　（3）E是F-自共轭域。

特别地，若扩张为有限扩张，则第二个命题可以改成某个多项式的分裂域。通过这些等价定义容易证明，正规扩张的交也是正规扩张。所有包含E的正规扩张的交被称为正规闭包，对有限扩张容易证明，生成元的最小多项式集合的分裂域便是正规闭包。

二、伽罗瓦理论

2.1 伽罗瓦群和固定子域

前面提到过，F-自同构群是自同构群$Aut(E)$的子群，不同的子域F对应于不同的子群。这就提醒我们去研究这两者的关联，但要注意这里有两种关联方法，一种是由F确定伽罗瓦群$Gal(E/F)$，另一种则是由$Aut(E)$的子群$G$确定一个子域$Inv(G)$，它被称为 G 的固定子域。这两个映射不一定是相同的，至少还需要一些条件，这将是本节的重点。
$$\text{Inv}(G)=\{a\in E\mid \sigma \in G\Rightarrow \sigma (a)=a\}\text{\hspace{1em}(2)}$$

先来看看这些映射的基本性质，首先比较显然，映射的像的包含关系都和原像的包含关系相反（公式（3），以下将$Gal(E/F)$简写为$Gal(F)）$。另外也很容易证明，两种映射的复合将原像的范围放大了（公式（4））。对于像这样的复合运算，分别采用和两个视角，结合前面两个包含关系便容易得到复合运算的“消去律”（公式（5））。这些基本性质在下面的讨论中非常重要，你需要熟记于心并不产生混淆。
$$G_1\subseteq G_2\iff \text{Inv}(G_1)\supseteq \text{Inv}(G_2),F_1\subseteq F_2\iff \text{Gal}(F_1)\supseteq \text{Gal}(F_2)\text{\hspace{1em}(3)}$$$$F\subseteq \text{Inv}\circ \text{Gal}(F),G\subseteq \text{Gal}\circ \text{Inv}(G)\text{\hspace{1em}(4)}$$$$\text{Gal}\circ \text{Inv}\circ \text{Gal}(F)=\text{Gal}(F),\text{Inv}\circ \text{Gal}\circ \text{Inv}(G)=\text{Inv}(G)\text{\hspace{1em}(5)}$$

2.2 伽罗瓦扩张和Artin定理

为了研究自同构子群和子域的关系，我们需要先对它们的特点做进一步研究。先来考察伽罗瓦群$Gal(E/F)$，它的每个元素是一个F-自同构，群的阶就是自同构的个数。对有限扩域有$E=F(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，所有的嵌入都可以拆分为一系列单扩域$f(a_1,\cdots ,a_{k-1})(a_k)$的嵌入。之前的结论告诉我们，每个单扩域嵌入的个数$c_k$不大于$a_k$最小多项式$f(x)$的次数$d_k=[F(a_1,\cdots ,a_k):F(a_1,\cdots ,a_{k-1})]$，相等的条件是$f(x)$没有重根。如果还要求是自同构嵌入，则还要求$f(x)$的根都在 E 中。

总嵌入的个数自然是 $\prod c_k⩽\prod d_k=[E:F]$，伽罗瓦群的个数不大于总嵌入数，相等的条件是E是正规扩域。总结以上讨论便有公式（6）成立，而且等号的成立的一个充分条件是：E 既是正规扩域，又是可离扩域。这种可离正规扩张被称为伽罗瓦扩张，当然我们仅关注有限伽罗瓦扩张。
$$\left|\text{Gal}(E/F)\right|⩽[E:F]\text{\hspace{1em}(6)}$$

现在反过来，对E自同构群的有限子群 G，考察$F=Inv(G)$与$E$的关系。如果 E 对 F 是有限扩张，由公式和容易得到$|G|⩽|\text{Gal}(F)|⩽[E:F]$。对此Artin却给出了截然相反的结论，他证明了$[E:F]⩽|G|$（这时E自然是F的有限扩张），结合这两点则恒有公式（7）成立。证明过程充分利用了扩域和自同构的性质，可以作为一个很好的例题示范，下面就来介绍其大致思路。
$$|G|=[E:\text{Inv}(G)]\text{\hspace{1em}(7)}$$

设$n=|G|$，先来考察扩域 E 在 F 上的线性空间的维数，如果维数有限，取 m 大于该维数，则 E 中任何 m 个元素 $a_i$ 都是线性相关的。精确一点描述便是，线性方程$\sum _{i=1}^m{a}_i{x}_i=0,(a_i\in E)$在F上总有非零解，现在我们就来证明$m>n$时方程有解。为了联系上G，设它的 n 个元素是${\sigma }_j$，原方程等价于方程组$\sum {\sigma }_j(a_i{x}_i)=\sum {\sigma }_j(a_i)x_i=0$在F上有解。由于$m>n$，该方程组在 E 中必定有非零解，我们需要由此构造出 F 上的解。

将任意${\sigma }_k$作用在方程组上得$\sum {\sigma }_k{\sigma }_j(a_i){\sigma }_k(x_i)=0$，由于$({\sigma }_k{\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_k{\sigma }_n)$只是$({\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_n)$的一个置换，方程组除了顺序没有发生变化，故$({\sigma }_k(x_1),\cdots ,({\sigma }_k(x_m))$也是是原方程组的解。因为$(x_1,\cdots ,x_m)$非零，可设$x_1\ne 0$，则$\bar{x}=(1,x_2^{\prime }=\frac{x_2}{x_1},\cdots ,x_m^{\prime }=\frac{x_m}{x_1})$也是方程组的解。若$x_i^{\prime }\in F$都成立，我们的结论得证。否则设$x_2^{\prime }\notin F$，这就是说存在${\sigma }_k$使得${\sigma }_k(x_2^{\prime })\ne x_2^{\prime }$。由于$(1,{\sigma }_k(x_2^{\prime }),\cdots ,{\sigma }_k(x_m^{\prime }))$也是方程组的根，与$\bar{x}$相减便得另一个非零解$(0,x_2^{\prime }-{\sigma }_k(x_2^{\prime }),\cdots )$，其中非零的元素个数比$\bar{x}$少。这个过程只能进行有限步，最终必定可以得到 F 上的非零解，Artin 定理得证。
　　• K为F的扩域，$f(x)\in F[x]$，求证：$Gal(f,F)⩽Gal(f,K)$。

2.3 伽罗瓦理论

有了公式（6）和（7），现在回来讨论自同构子群和子域的关系，由于公式（6）等号成立的一个充分条件是伽罗瓦扩张，而伽罗瓦扩张不能处处成立，所以我们把研究限定在某个伽罗瓦扩张中。子域F对应一个它的伽罗瓦域$G=Gal(E/F)$，反之G又对应到它的固定子域$F\prime =Inv(G)$。现在来比较$[E:F]$和$[E:F^{\prime }]$，根据公式和分别有$[E:F]=|G|$和$[E:F^{\prime }]=|G|$，而公式说明$F\subseteq F^{\prime }$，所以有$F=F^{\prime }$，子域和自同构子群在有限伽罗瓦扩张上建立了对应。

若设$E,F$的所有中间域$F⩽F^{\prime }⩽E$组成集合$\Sigma$，容易证明 E 对 $\Sigma$中的所有元素都是有限伽罗瓦扩张。若设 G 的所有子群构成集合 $\Gamma$，则以上结论则建立了从$\Sigma$到$\Gamma$的单射$\phi$，它满足公式（8）。反之对任何$G^{\prime }\in \Gamma$，首先有$|G^{\prime }|=[E:Inv(G^{\prime })]$，而由公式（6）得$|\text{Gal}\circ \text{Inv}(G^{\prime })|=[E:\text{Inv}(G^{\prime })]$，所以有$G^{\prime }=\text{Gal}\circ \text{Inv}(G^{\prime })=\phi (\text{Inv}(G^{\prime }))$。这就说明了$\phi$是满射，从而便是一一映射，所有Σ和Γ之间存在一一映射，满足公式（8）。
$$\phi (F^{\prime })=\text{Gal}(E/F^{\prime }),{\phi }^{-1}(G^{\prime })=\text{Inv}(G^{\prime })\text{\hspace{1em}(8)}$$

根据$\phi$的定义，容易有公式（9）成立，其中$\cup$表示生成群（域）。另外，由于$[E:F]=|G|$,$[E:F^{\prime }]=|G^{\prime }|$，则$[F^{\prime }:F]=[G:G^{\prime }]$（后者表示子群的指数）。看到这个式子，你可能会问一个问题：F′ 是伽罗瓦扩域与 G′ 是正规子群之间是不是有什么关联？容易验证，对任何 $\sigma \in G$，$\sigma G^{\prime }{\sigma }^{-1}$在映射 $\phi$中的原像为$\sigma (F^{\prime })$。所以 $G^{\prime }$ 为正规子群的等价条件是$\sigma (F^{\prime })=F^{\prime }$，即$F^{\prime }$为正规扩域，再由$F^{\prime }$显然是分离扩域，故$G^{\prime }$为正规子群的等价条件是 $F^{\prime }$ 为伽罗瓦扩域。

$$F_1\cap F_2=\text{Inv}(G_1\cup G_2),F_1\cup F_2=\text{Inv}(G_1\cap G_2)\text{\hspace{1em}(9)}$$
　　
　　进一步地，设$H=\text{Gal}(F^{\prime }/F)$，构造同态映射$\eta :H\to G$，使得$\sigma =\eta (h)$满足$\sigma (F^{\prime })=F^{\prime }$，显然同态核为$G^{\prime }$，从而 H 与 $G/G^{\prime }$ 同构（公式（10））。
$$\text{Gal}(F^{\prime }/F)\cong G/G^{\prime }\text{\hspace{1em}(10)}$$

三、经典应用

3.1 正多边形作图

正多边形作图同“三大作图难题”一样古老且著名，有时候它们一起并称为“四大作图难题”。首先容易证明，如果$p,q$互质且正$p,q$边形都可以作出，那么正$pq$边形也可以作出。根据算术基本定理，$n=2^e{p}_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m}$，而正$2^e$边形很容易作出，所以只需研究正$p_k^{e_k}$边形的作图。

高斯在 20 岁时作出了正 17 边形，并给出了正 m 边形可作图的充要条件，这里我们用域的语言重新描述一下论证思路。要想作正 $p_s$ 边形，其实就是作出$f(x)$ 的根 $\omega$（式（11））。显然$\omega$是$f(x)$分裂域的生成元，即$E=Q(\omega )$。上一节的作图理论中我们知道，$\omega$可被作图的充要条件是：$[E:Q]=2^t$。
$$f(x)=x^{p^s}-1,\omega =e^{\frac{2\pi }{p^s}i}\text{\hspace{1em}(11)}$$

由于 E 是一个分裂域，它是伽罗瓦扩张，所以有$[E:\mathbb{Q}]=\text{Gal}(E/\mathbb{Q})$。E 的 Q-自同构$\sigma$由$\sigma (\omega )$唯一确定，$\sigma (\omega )$只能取${\omega }^k$，其中$(k,p^s)=1$。由初等数论的知识，$k$可取$\phi (p^s)=p^{s-1}(p-1)$个数，所以$2^t=p^{s-1}(p-1)$。首先有$s=1$，再由初等数论的知识，必须有$t=2^n$，且$2^{2^n}+1$为素数。

满足形式（12）的数叫费马数，以上结论就是说$p^s$边形可作图的充要条件是：$s=1$且 $p$ 为费马素数。那么 $n$ 边形可作图的条件就是式子（13），其中$p_k$为互异的费马素数。前 5 个费马数恰好是素数，费马当时断言所有费马数都是素数，但至今都还没有找到第6个费马素数。
$$F_n=2^{2^n}+1(F_0=3,F_1=5,F_2=17,F_3=257,F_4=65537,\cdots )\text{\hspace{1em}(12)}$$
$$m=2^s{p}_1{p}_2\cdots p_n,(n⩾0)\text{\hspace{1em}(13)}$$

3.2 多项式的求根

多项式求根是古代代数的重要内容，早在公元前的古巴比伦，人们就已经掌握了二次的方程的求根。而文艺复兴时期的意大利人，则给出了求解三、四次方程的一般方法和公式，主要的思想都是降次法。对于三次方程，先通过简单的代换$y=x+\frac{a}{3}$消除二次项（式（14）），然后利用立方和公式的形式特点将 $y$ 参数化$y=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}$。由于$m,n$可以连续变化，再添加限制条件$3\sqrt[3]{mn}=p$，带入式便将原方程等价于较简单的方程组（15）。
$$x^3+a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow y^3=py+q\text{\hspace{1em}(14)}$$$$mn=(\frac{p}{3}{)}^3,m+n=q\text{\hspace{1em}(15)}$$

对于四次方程同样使用$y=x+\frac{a}{4}$消除三次项，然后引入参数 $t$ 并配方（式（16））。找到合适的$t$使方程右侧可配方，这样四次方程就降为了二次方程。而配方成立时t满足一个三次方程，上面已经给出了它的求解方法，这样四次方程也成功求解。三、四次方程的完整公式十分复杂，这里就不给出了（也没必要）。
$$x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0\Rightarrow (y^2+t{)}^2=(2t+p)y^2+qy+(t^2+r)\text{\hspace{1em}(16)}$$

当人们迫不及待地向一般五次方程进军时，却发现无论如何都找不到求解公式。所谓“公式”就是四则运算和开方组成的表达式，为了利用扩域的理论，这里需要为开方定义一种的扩域。设$a\in F$，代数闭包中$x^n=a$的任一根记作$\sqrt[n]{a}$，单扩域$F(\sqrt[n]{a})$称为根式扩张。多项式的根如果可用“公式”表示，就表示存在一个根式扩张链（式（17）），它们可包含分裂域 E。这样的多项式称为是根式可解的，我们问题就是：什么样的多项式根式求解？
$$F=F_0⩽F_1⩽\cdots ⩽F_n=K,E\subseteq K\text{\hspace{1em}(17)}$$

我们先对根式扩张作一些常规讨论，为下面的论证提供有用的工具，以下讨论默认扩域可离，所以分裂域都是伽罗瓦扩域。先来考虑方程$x^n=1$，它的根称为 $n$ 次单位根。在复数域中，所有单位根组成一个循环群，其中的生成元称为 $n$ 次本原根$（\omega ）$。其实这个结论在一般域中也成立，因为$n=\prod p_k^{e_k}$，所以我们只需找到$p^e$次本原根即可。容易证明$(x^{p^e}-1)/(x^{p^{e-1}}-1)=0$的根就是本原根，这样$x^n-1$的分裂域其实就是$E=F(\omega )$。

$F(\omega )$伽罗瓦群的每个元素由$\sigma (\omega )={\omega }^l,(l,n)=1$唯一确定，且有到$Z_n^{\ast }$的单同态映射，所以是一个交换群，这样的扩张称为阿贝尔扩张。对于$x^n=a$的根$d=\sqrt[n]{a}$，易知$d{\omega }^k$也是方程的根。为了同样使用单扩域表示分离域，事先假定$\omega \in F$，故$x^n-a$的分裂域为$F(d)$。$F(d)$伽罗瓦群的每个元素由$\sigma (d)=d{\omega }^l,(l,n)=1$唯一确定，且有到$Z_n^{+}$的单同态映射，所以是一个循环群，这样的扩张称为循环扩张。

把目光专注在根式扩张$F(d=\sqrt[p]{a})$上，以上结论说明，当$\omega \in F,d\notin F$时$Gal(F(d)/F)$为 p 阶循环群。反之若 $Gal(E)$为$p$阶循环群$⟨\sigma ⟩$，取任一$c\in E-F$，记$c_k={\sigma }^k(c)$，构造如下$d_k$（式（18））。把它们看成是$c_0,c_1,\cdots ,c_{p-1}$的方程组，由于范德蒙行列式（参考线性代数）非零，必有某个$d=d_k\notin F$。另外可以验证$\sigma (d^p)=\sigma (d{)}^p=({\omega }^{-1}d{)}^p=d^p$，故由伽罗瓦理论知$d^p\in F$，所以 E 为根式扩张。总结以上便是，若$\omega \in F$，则根式扩张等价于$p$阶循环扩张。
$$d_k=c_0+c_1{\omega }^k+c_2{\omega }^{2k}+\cdots +c_{p-1}{\omega }^{(p-1)k},k=0,1,\cdots ,p-1\text{\hspace{1em}(18)}$$

现在就来讨论什么样的多项式是根式可解的，根式可解表示有根式扩张链$F=F_0⩽\cdots ⩽F_n=K$。为了用上伽罗瓦理论，可以将其它根都添加到扩张链中，可以假设 K 已经是伽罗瓦扩张。为了使用上面的结论，令所有根数 $m_k$的最小公倍数为$m$且$m$次本原根为$\omega$，将链表中的每个扩域进行单扩张$F_k^{\prime }=F_k(\omega )$，显然$m_k$次本原根也在 F 中。新扩张链（式（19））的每一步都是伽罗瓦扩张，根据伽罗瓦理论知所有伽罗瓦群形成一个正规群列。又因为每个伽罗瓦群都是交换群，故$\text{Gal}(K(\omega ),F)$为可解群，所以子群$Gal(E,F)$也是可解群。
$$F⩽F_0^{\prime }⩽F_1^{\prime }⩽\cdots ⩽F_n^{\prime }=K(\omega )\text{\hspace{1em}(19)}$$

反之若$Gal(E,F)$是可解群，取$[E:F]$次本原根$\omega$，由前面的习题知$Gal(E(\omega )/F(\omega ))$是$Gal(E/F)$的子群，故也是可解群。根据伽罗瓦理论知存在$F(\omega )$到$E(\omega )$伽罗瓦扩张链，每个扩张的伽罗瓦群都是素数阶循环群。再由上面的习题知每个伽罗瓦扩张的阶$m_k$都是$[E:F]$的因子，故$m_k$阶本原根在$F(\omega )$中，所以每个扩张为根式扩张。由于$F(\omega )$也是根式扩张，故$E(\omega )$可由$F$根式扩张而来，所以方程根式可解。

这就得到了伽罗瓦的天才的结论：多项式有根式解的充要条件是，它的伽罗瓦群为可解群。这个结论可以应用到任何一个具体的多项式，但方程的“公式”解其实是讨论参数化的一般多项式$f(x)$（式（20）），其中$t_k$是不定元。方程的不变域是$F=\mathbb{Q}(t_1,t_2,\cdots ,t_n)$，而我们需要判断$f(x)$在$F$的伽罗瓦群是否可解。由于$t_k$可由$y_k$用基本不等式表示，故分裂域$F(y_1,y_2,\cdots ,y_n)=\mathbb{Q}(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$。
$$f(x)=x^n-t_1{x}^{n-1}+t_2{x}^{n-2}+\cdots +(-1{)}^n{t}_n,t_k={\sigma }_k(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\text{\hspace{1em}(20)}$$
$$g(x)=x^n-p_1{x}^{n-1}+p_2{x}^{n-2}+\cdots +(-1{)}^n{p}_n,p_k={\sigma }_k(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\text{\hspace{1em}(21)}$$

但由于$y_k$的值和相互关系是从$t_k$得来，$f(x)$的伽罗瓦群并不好分析。我们更希望$y_k$是独立的不变元，为此我们用不定元$x_k$建立多项式$g(x)$（式（21）），其系数$p_k$为$x_k$的基本不等式（pk不是不定元）。同样可有这个方程的不变域为$\mathbb{Q}(p_1,p_2,\cdots ,p_n)$，扩域为$\mathbb{Q}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$。可以论证（略去）这两个多项式的伽罗瓦群是同构的（式（22）），而后者同构于$S_n$（$x_k$为不定元），所以$f(x)$有$n$个不同的根。再由于$n⩾5$时，$S_n$不是可解群，故$f(x)$不能公式求解。
$$\mathbb{Q}(y_1,y_2,\cdots ,y_n)/\mathbb{Q}(t_1,t_2,\cdots ,t_n)\cong \mathbb{Q}(x_1,x_2,\cdots ,x_n)/\mathbb{Q}(p_1,p_2,\cdots ,p_n)\text{\hspace{1em}(22)}$$

到这里关于抽象代数的知识，我们就介绍到这儿了。关于更加高阶的代数学知识就不涉猎了。抽象代数是近代数学的基石，它有着十分广博的内容和无限的智慧，学习它的最终目的，是锻炼我们的抽象思维和科学的数学观。带着这样的熏陶去学习别的科目，你会有不一样的高度，对事物的认识不再浮于表面。