动态规划----0-1背包问题

一个背包有一定的承重cap，有N件物品，每件都有自己的价值，记录在数组v中，也都有自己的重量，记录在数组w中，每件物品只能选择要装入背包还是不装入背包，要求在不超过背包承重的前提下，选出物品的总价值最大。

给定物品的重量w价值v及物品数n和承重cap。请返回最大总价值。

思路：

建立(n+1)(w+1)二维数组dp,其中dp[i][j]表示放入i个物品时，在总量不超过j时的最大总价值。

对于dp[i][j]当想要放入第i个物品时，前面i-1个物品的重量不能超过j-w[i],当不想要放入第i个物品时，前面i-1个物品的重量不能超过j,

所以其价值dp[i][j]=max{dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]}。

对于第一行dp[0][j]，由于重量不超过0 ，所以不放入物品，则价值为0，则第一行所有的值为dp[0][j]=0；

对于第一列dp[i][0]，不放入物品，则价值为0，则第一列所有的值为dp[i][0]=0；

int maxValue(vector w, vector v, int n, int cap) {
	  //构造dp二维函数
	  int **dp = new int *[n+1];
	  for (int i = 0; i < n+1; i++)
	  {
		  dp[i] = new int [cap+1];
	  }
	  //初始化矩阵
	  for (int i = 0; i < cap+ 1; i++)
	  {
		  dp[0][i] = 0;//没有装入物体时，就没有价值了
	  }
	  for (int j = 0; j< n+1; j++)
	  {
		  dp[j][0] = 0;//不能承载重量时，则不能装物体
	  }
	  //求其他元素
	  for (int i= 1; i<= n; i++)//行数
	  {
		  for (int j = 1; j <=cap; j++)//列数
		  {
			  dp[i][j] = dp[i - 1][j];   //不加入第i个物体时的价值
			  if (j - w[i-1] >= 0)//由于w,v都是从0开始计数的，所以对应位要减1
				  dp[i][j] = dp[i][j]>(dp[i - 1][j - w[i-1]] + v[i-1])? dp[i][j]: (dp[i - 1][j - w[i-1]] + v[i-1]);		  
		  }
	  }
	  return dp[n][cap];
  }