MPS

红色：重要；
绿色：不清楚；

参考资料

• 海森堡模型
• 周期边界条件
• 开边界条件
• 纠缠熵

4.2 拆解波函数

• 张量网络表示量子多体系统的态！
• $N$个粒子的量子多体系统：每一个粒子的自由度由$p$个不同的态描述。因此考虑的是$p-level$的$N$体问题。
• 取定某一粒子$r=1,2,...,N$的基态$|i_r⟩$,则波函数：$$|\Psi ⟩=\sum _{i_1{i}_2...i_N}{C}_{i_1{i}_2...i_N}|i_1⟩\otimes |i_2⟩\otimes \cdots \otimes |i_N⟩$$
  $C_{i_1{i}_2...i_N}$是$p^N$个复数；
  对每个粒子$r,i_r=1,2,...,p$;
• TN态的目的之一是：在表示态$|\Psi ⟩$时通过精确描述其纠缠性来简化复杂度。
  方法：通过小(秩小)的张量组成的网络TN代替大(秩大)的张量$C$.

态$|\Psi ⟩$的表示按照TN，其计算复杂度通常取决于参数的多项式，因此是量子多体系统的态的高效描述。

• 一个NT中，参数总数为：$m_{tot}$,$$m_{tot}=\sum _{t=1}^{N_{tens}}m(t)$$
  $m(t)$：NT中张量 $t$ 的参数个数；
  $N_{tens}$：NT中张量的个数；实际中$N_{tens}=O(ploy(N))$或者$N_{tens}=O(1)$
• 对每个张量$t$,参数为：$$m(t)=O(\prod _{a_t=1}^{rank(t)}D(a_t))$$
  $D(a_t))$：指标 $a_t$ 的不同的可能取值；
  $rank(t)$：张量 $t$ 的指标个数；
  $D_t$：张量$t$的不同的指标的取值$D(a_t)$的最大值；
  因此有：$$m(t)=O({D_t}^{rank(t)})$$
  因此：$$m_{tot}=\sum _{t=1}^{N_{tens}}O({D_t}^{rank(t)})=O(poly(N)ploy(D))$$
  $D$：$D_t$ 的最大值，且假设每个张量的秩是有界的，是个常数。

$\bullet$关键：缩并张量网络产生一个秩$N$的张量，因此有$p^N$个系数。这$p^N$个系数是不独立的。

利用TN代替张量$C$,会引入新的自由度，使不同的小张量结合在一起。这些新的自由度由TN中的张量的连接指标表示。

• 连接指标($bondindices$)的物理意义：表示在量子态$|\Psi ⟩$中，多体纠缠的结构和这些指数中的每一个可以采取的不同值的数目是波函数中的量子相关量的定量度量。连接指标可能取的数目称为：连接维数（$bonddimensions$）
  $D$：连接维数的最大值，称为张量网络的连接维数（$bonddimensionsofthetensornetwork$）
• 纠缠与连接指标之间的关系：通过下面的例子体会
  给定一个张量网络态，所有的指标都有张量网络的连接维数$D$,这个态称为$ProjectedEntangledPairState(PEPS)$,估计线性长度$L$的纠缠熵：
  我们称$\bar{\alpha }=\{{\alpha }_1{\alpha }_2...{\alpha }_{4L}\}$为张量指标边界的组合指标。如果$\alpha$的值能取到$D$,则$\bar{\alpha }$的值可以取到$D^{4L}$。则按照图中，$$|\Psi ⟩=\sum _{\bar{\alpha }=1}^{D^{4L}}|in(\bar{\alpha })⟩\otimes |out(\bar{\alpha })⟩$$约化密度矩阵为：${\rho }_{in}=\sum _{\bar{\alpha },\overline{{\alpha }^{\prime }}}{X}_{\bar{\alpha },\overline{{\alpha }^{\prime }}}|in(\bar{\alpha })⟩\otimes ⟨in(\overline{{\alpha }^{\prime }})|$,其中$X_{\bar{\alpha },\overline{{\alpha }^{\prime }}}=⟨out(\overline{{\alpha }^{\prime }})|out(\bar{\alpha })⟩$,此约化密度矩阵的秩最多为$D^{4L}$。
• 面积定律：假设有两个观察者A和B，他们对整个物理系统的组成部分进行测量，A只能测量空间中一个区域内的部分，一个边界将这个区域与其余部分隔开；而B可以对A的区域以外的部分进行测量。我们可以将“面积定律”粗略地解释为，它指的是A和B所测得结果的相互关联程度是由将A和B分割的边界面积决定的。

Matrix Product States (MPS)

• MPS：1维张量序列的张量网络态。在一个MPS中，多体系统的每个位置只有一个张量，相连的连接指标($bondindices$)把这些张量连接起来，这些指标最多可以取 $D$ 个不同的值。开指标$(openindices)$对应着局域希尔伯特空间的物理自由度，最多可以取 $p$ 个不同的值。
  下图（a）是在开边界条件下的4个位置的MPS；（b）是在周期边界条件下的4个位置的MPS：

MPS在以下三种方法中有重要应用：

• Density Matrix Renormalization Group (DMRG) algorithm
• Time-Evolving Block Decimation (TEBD);
• Power Wave Function Renormalization Group (PWFRG)

MPS的基本性质：

1. 1维平移不变性和热力学极限；
2. MPS是稠密的；
3. 1维面积定律；
4. MPS是有限相关的；
5. 期望值的精确计算值；
6. 正则形式与Schmidt分解；

疑问：
Schmidt 向量是什么？

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