数列收敛发散的定义

数列极限的$\epsilon -N$定义

对$\forall \epsilon >0,都\exists N\in N^{\ast },当n>N$时有
$$|a_n-a|<\epsilon$$
$\Rightarrow$数列$\{a_n\}$收敛于$a$，$a$称为$\{a_n\}$的极限，并记$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=a，或a_n\to a(n\to \infty )$$
通俗的说，就是：当$n$无限增大时，$a_n$能无限趋于一个常数$a\Rightarrow \{a_n\}$为收敛数列

收敛等价定义

• $\forall \epsilon >0$
• $在U(a,\epsilon )外只有有限多个\{a_n\}项$
• $\Rightarrow \{a_n\}$收敛于$a$

无穷小数列

满足$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$$

定理2.1

数列$\{a_n\}$收敛于$a\iff$ $$\{a_n-a\}是无穷小数列$$

无穷大数列（发散）

若对$\forall M>0,总\exists N\in N^{\ast },使当n>N时$ $$|a_n|>M$$
$\Rightarrow \{a_n\}$发散于无穷大，记作$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\infty ，或a_n\to \infty$$