容斥原理及其证明

容斥原理是计数方法中一个重要的原理，在算法竞赛中也经常考到（大概是因为需要大量计算吧。。。。）

容斥原理有个经典题目：一个班每个人都有自己喜欢的科目，有20人喜欢数学，10人喜欢语文，11人喜欢英语，其中3人同时喜欢数学语文，3人同时喜欢语文英语，4人同时喜欢数学英语，2人都喜欢，问全班有多少人？

这个肯定不可以20+10+11的简单计算，因为有人喜欢多个科目，会重复计算，在之前基础上-3-3-4，这时候会发现全部都喜欢的被多减了，再+2。得到班级人数=20+10+11-3-3-4+2

设喜欢数学的为A，喜欢语文的为B，英语为C，那么可以得到

会发现奇数个集合前面是+，偶数个是-。

推广到一般情况也符合这个规律，可以把公式表示为：(为表示方便，B为全部Ai的并集，公式图片来自网络)

证明如下：

设i为m个集合中的元素

在考虑集合个数为1的时候，i被加了C(1,m)次

在考虑集合个数为2的时候，i被减了C(2,m)次

在考虑集合个数为3的时候，i被加了C(3,m)次

...

i总共被加了C(1,m)-C(2,m)+C(3,m)-C(4,m)+...C(m,m)次

由二项式定理得：

C(1,m)-C(2,m)+C(3,m)-C(4,m)+...C(m,m)=C(0,m)-(1-1)^m=1

所以i被加了1次，所以算法正确

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