【NOI2019】【LOJ3259】【洛谷P5471】弹跳（K-D Tree）（最短路）

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（题解） 社论：

我觉得我这个是个乱搞，但是是个复杂度优秀的乱搞，好像只有$O(m\log m+n{\log }^{2}n)$

一眼KDTree优化建图跑dijkstra，然后写了个滚动切割静态KD-Tree，边数被卡爆只有88pts。

所以我们的策略是不建边。在优先队列里面保留整个矩形，然后考虑用某种数据结构询问当前矩形内部所有没有访问过的点。

直接上KD-Tree是期望$O(n^{\frac{3}{2}})$，但是我们发现这个KD-Tree是个静态的，所以考虑滚动切割，按照维度滚动，然后贪心分治，这样建树只有$O(n{\log }^{2}n)$，而且常数极小。

然后我们从优先队列里面拿出来矩形，在KD-Tree上面找就行了，这部分找点的总复杂度为$O(n\log n)$，常数不超过$4$。

加上dijkstra的复杂度也才$O(m\log m+n{\log }^{2}n)$。

拿下LOJ和洛谷速度榜Rk 1。

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Update：

怎么总是有人说我复杂度假掉了？

看清楚，这不是任何一种传统的KD-Tree建树方式！

来证明一下：

建树：根据贪心划分（自己去看我是怎么划分的），保证左右儿子的点数严格为父亲点数的一半，单个节点建树需要按照横纵坐标排序$f(n)=O(n\log n)$，复杂度瓶颈就在这里，建树总复杂度$T(n)=2T(\frac{n}{2})+f(n)=O(n{\log }^{2}n)$

查询：首先树高是$O(\log n)$的，空矩形的访问复杂度最多只有$O(\log n)$

显然这道题由于是访问一个叶子节点之后需要删除，至少会导致其到根的路径上的点的$siz-1$。空节点不用再次访问，则复杂度显然为$O(\sum siz)$，而树高为$O(\log n)$，一个叶子显然只会对$O(\log n)$个节点有贡献，所以总复杂度为$O(\sum siz)=O(n\log n)$，如果非要用空矩形来卡的话就是$O(m\log n)$。

复杂度和常数都十分优秀。

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代码：

#include
#define ll long long
#define re register
#define gc get_char
#define cs const

namespace IO{
	inline char get_char(){
		static cs int Rlen=1<<22|1;
		static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
	}
	
	template<typename T>
	inline T get(){
		char c;
		while(!isdigit(c=gc()));T num=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))num=(num+(num<<2)<<1)+(c^48);
		return num;
	}
	inline int getint(){return get<int>();}
}
using namespace IO;

using std::cerr;
using std::cout;
typedef std::pair<ll,int> pli;
#define fi first
#define se second

cs int N=7e4+4,M=1.5e5+5;

int n,m,w,h;

struct Point{
	int x,y,id;
}p[N];

int nd[N],cnt;
namespace KDT{
	cs int N=::N<<1;
	int lc[N],rc[N],typ[N],now,rt;
	int U[N],D[N],L[N],R[N],siz[N],id[N];
	
	bool cmp1(cs Point &a,cs Point &b){return a.x<b.x;}
	bool cmp2(cs Point &a,cs Point &b){return a.y<b.y;}
	
	void build(int &rt,int l,int r,int u,int d,int pl,int pr,int lasttyp=0){
		rt=++now;
		L[rt]=l,R[rt]=r,D[rt]=d,U[rt]=u;
		siz[rt]=pr-pl+1;
		if(pl==pr){
			id[rt]=p[pl].id;
			return ;
		}
		if(u==d){
			typ[u]=1;
			if(typ[u]!=lasttyp)std::sort(p+pl,p+pr+1,cmp1);
			int mid=pl+pr>>1;
			build(lc[rt],l,p[mid].x,u,u,pl,mid,1);
			build(rc[rt],p[mid+1].x,r,u,u,mid+1,pr,1);
			return ;
		}
		if(l==r){
			typ[u]=2;
			if(typ[u]!=lasttyp)std::sort(p+pl,p+pr+1,cmp2);
			int mid=pl+pr>>1;
			build(lc[rt],l,l,u,p[mid].y,pl,mid,2);
			build(rc[rt],l,l,p[mid+1].y,d,mid+1,pr,2);
			return ;
		}
		typ[u]=3-lasttyp;
		if(typ[u]==3)typ[u]=1;
		if(typ[u]==1){
			std::sort(p+pl,p+pr+1,cmp1);
			int mid=pl+pr>>1;
			int nu=0x3f3f3f3f,nd=0;
			for(int re i=pl;i<=mid;++i)nu=std::min(nu,p[i].y),nd=std::max(nd,p[i].y);
			build(lc[rt],l,p[mid].x,nu,nd,pl,mid,1);
			nu=0x3f3f3f3f,nd=0;
			for(int re i=mid+1;i<=pr;++i)nu=std::min(nu,p[i].y),nd=std::max(nd,p[i].y);
			build(rc[rt],p[mid+1].x,r,nu,nd,mid+1,pr,1);
		}
		else {
			std::sort(p+pl,p+pr+1,cmp2);
			int mid=pl+pr>>1;
			int nl=0x3f3f3f3f,nr=0;
			for(int re i=pl;i<=mid;++i)nl=std::min(nl,p[i].x),nr=std::max(nr,p[i].x);
			build(lc[rt],nl,nr,u,p[mid].y,pl,mid,2);
			nl=0x3f3f3f3f,nr=0;
			for(int re i=mid+1;i<=pr;++i)nl=std::min(nl,p[i].x),nr=std::max(nr,p[i].x);
			build(rc[rt],nl,nr,p[mid+1].y,d,mid+1,pr,2);
		}
	}
	
	void get(int rt,int l,int r,int u,int d){
		if(!siz[rt])return ;
		if(r<L[rt]||R[rt]<l||d<U[rt]||D[rt]<u)return ;
		if(id[rt]){
			siz[rt]=0;
			nd[++cnt]=id[rt];
			return ;
		}
		if(typ[rt]==1){
			if(l<=R[lc[rt]])get(lc[rt],l,r,u,d);
			if(L[rc[rt]]<=r)get(rc[rt],l,r,u,d);
		}
		else {
			if(u<=D[lc[rt]])get(lc[rt],l,r,u,d);
			if(U[rc[rt]]<=d)get(rc[rt],l,r,u,d);
		}
		siz[rt]=siz[lc[rt]]+siz[rc[rt]];
	}
}

struct rac{
	int l,r,u,d;ll t;
	rac(int _l,int _r,int _u,int _d,ll _t):l(_l),r(_r),u(_u),d(_d),t(_t){}
	friend bool operator>(cs rac &a,cs rac &b){
		return a.t>b.t;
	}
};

std::vector<rac> G[N];
std::priority_queue<rac,std::vector<rac>,std::greater<rac> > q;

bool vis[N];
ll dist[N];

inline void Dij(){
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);
	dist[1]=0;
	for(rac &t:G[1])q.push(t);
	vis[1]=true;
	while(!q.empty()){
		int l=q.top().l,r=q.top().r,u=q.top().u,d=q.top().d;ll t=q.top().t;
		q.pop();cnt=0;
		KDT::get(KDT::rt,l,r,u,d);
		for(int re i=1;i<=cnt;++i){
			int u=nd[i];if(vis[u])continue;vis[u]=true;
			dist[u]=t;
			for(rac &e:G[u]){
				q.push(rac(e.l,e.r,e.u,e.d,e.t+t));
			}
		}
	}
}

int mnx=0x3f3f3f3f,mxx,mny=0x3f3f3f3f,mxy;
signed main(){
//	freopen("jump.in","r",stdin);freopen("jump.out","w",stdout);
	n=getint(),m=getint(),w=getint(),h=getint();
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		p[i].x=getint(),p[i].y=getint(),p[i].id=i;
		mnx=std::min(mnx,p[i].x);
		mxx=std::max(mxx,p[i].x);
		mny=std::min(mny,p[i].y);
		mxy=std::max(mxy,p[i].y);
	}
	KDT::build(KDT::rt,mnx,mxx,mny,mxy,1,n);
	for(int re i=1;i<=m;++i){
		int u=getint(),w=getint(),L=getint(),R=getint(),U=getint(),D=getint();
		G[u].push_back(rac(L,R,U,D,w));
	}
	Dij();
	for(int re i=2;i<=n;++i)cout<<dist[i]<<"\n";
	return 0;
}