辗转相除法（欧几里得算法）和扩展欧几里得算法实现及证明

辗转相除法（欧几里得算法）和扩展欧几里得算法实现及证明

今天看了好长时间的数论知识点，学完之后，过了一个假期，再回头看扩展欧几里得时已经是

懵 懵 懵

于是我上网找到了它的证明！

（叙述的可能会非常啰嗦详细）

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辗转相除法：

定义及用途：

辗转相除法， 又名欧几里德算法，是求最大公约数的一种方法。它的具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
——摘自百度百科

证明：

我们想要证明 a a 和 b b 的最大公约数和 b b 和 a mod b a   m o d   b 的最大公约数相等，即 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) g c d ( a , b ) = g c d ( b , a   m o d   b )

可以令 a=kb+r a = k b + r ,则 r=a−kb r = a − k b ,其中 k=⌊a/b⌋ k = ⌊ a / b ⌋ ,（ ⌊x⌋ ⌊ x ⌋ 表示向下取整），那么 r=a mod b r = a   m o d   b 。

• 若 a a , b b 的一个公约数为 d d ，则 a a ， b b 都可以被 d d 整除，同时 r r 也可被 d d 整除（这里可以自己想一下）。所以 d d 是 b b 和 a mod b a   m o d   b 的公约数。

• 若 b b 和 a mod b a   m o d   b 的一个公约数为 d d ，则 b b , r r 可以被 d d 整除，同时 a=kb+r a = k b + r ,所以 d d 也是 a a 和 b b 的公约数。

综上， a,b a , b 和 b,a mod b b , a   m o d   b 的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等。

实现：

辗转相除法是我们很早的时候就了解的算法，实现也有很多种方法，可以用递归或非递归的方式实现，这里就不再给出

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扩展欧几里得算法：

定义及用途：

（就是对欧几里得算法的扩展）

扩展欧几里得算法可以用来求解线性同余方程和乘法的逆元。

线性同余方程的解法步骤这里就不再赘述，扩展欧几里得算法所能实现的就是：给定 a a ， b b ，求解 x x , u u ,使之满足 ax+by=gcd(a,b)=d a x + b y = g c d ( a , b ) = d 。接下来给出过程及证明

证明：

已知： ax+by=1 a x + b y = 1 且 a a ， b b 互质

求： x x ， y y

ax+by=1=gcd(a,b) a x + b y = 1 = g c d ( a , b )

根据朴素的辗转相除法得： gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) g c d ( a , b ) = g c d ( b , a   m o d   b )

所以： ax+by=gcd(b,a mod b)=bx1+(a mod b)y1 a x + b y = g c d ( b , a   m o d   b ) = b x 1 + ( a   m o d   b ) y 1

又因为： a mod b=a−⌊a/b⌋∗b a   m o d   b = a − ⌊ a / b ⌋ ∗ b

所以展开并移项得：

ax+by=bx1+(a−⌊a/b⌋∗b)y1 a x + b y = b x 1 + ( a − ⌊ a / b ⌋ ∗ b ) y 1

ax+by=bx1+ay1−b∗⌊a/b⌋y1 a x + b y = b x 1 + a y 1 − b ∗ ⌊ a / b ⌋ y 1

ax+by=ay1+b(x1−⌊a/b⌋∗y1) a x + b y = a y 1 + b ( x 1 − ⌊ a / b ⌋ ∗ y 1 )

所以： x=y1 x = y 1 , y=x1−⌊a/b⌋∗y1 y = x 1 − ⌊ a / b ⌋ ∗ y 1 ，这就是 x x ， y y 与 x1 x 1 ， y1 y 1 的关系

像这样递归下去，直到 b=0 b = 0 ，此时 anxn+0∗yn=gcd(an,0)=an a n x n + 0 ∗ y n = g c d ( a n , 0 ) = a n ，那么 xn=1 x n = 1 , yn=任意数 y n = 任 意 数 ，为了方便，我们取 y=0 y = 0 .

之后进行回溯， x=y1 x = y 1 , y=x1−⌊a/b⌋∗y1 y = x 1 − ⌊ a / b ⌋ ∗ y 1 ，最后就做到了在求解 a a ， b b 的最大公约数的过程中也实现了对 x x ， y y 的求解，这也是这个算法叫做扩展欧几里得的原因。

实现：

网上扩展欧几里得算法的模板很多，这里给出一个：

int exgcd(int a,int b)
{
    if(b==0)//边界
    {
        x=1;
        y=0;//y可以为任意数，这里取0
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b);
    int t=x;
    x=y;//更新解的过程
    y=t-a/b*y;//更新解的过程
    return r;
}

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其他：

这里再推荐两个博客，也是有关证明的，可以看一下

https://blog.csdn.net/lincifer/article/details/49391175

http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

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结束了。

有不严谨的地方还请指正。