2019牛客暑期多校训练营（第九场）I-KM and M

题目描述

Find the value of
∑^N_K=1( (KM) & M ) mod 1e9+7，
where & denotes the bitwise AND operator.

输入描述:

The first and only line of input contains two space-separated integers, N, M (1 <= N <= 1018, 1 <= M <= 1011).

输出描述:

Output a single integer, the answer to the problem.

示例1

输入

4 6

输出

12

说明

The sum is 6 + 4 + 2 + 0 = 12.

解：

这道题在比赛的时候想到了是按照二进制位来算，甚至还暴力了一下想找规律，可惜失败了。等补题的时候才知道还有类欧几里得，现学了一下，结合群里大佬的说明，才把这个题补上了。
关于类欧几里得是在这个大佬的博客里看的 https://blog.csdn.net/WorldWide_D/article/details/54730588，对于这个题就是用的 f 函数，这个博客里写的很清楚了，那么我们来想一下为什么要用这个函数做呢，或者说哪里能用到这个函数。
题目是找 KM & M，由于N, M都非常大， 那我们就要思考换一种方式去找。由于是求与，那么自然而然的会想到二进制位的关系，我们只要能够求出所有的 KM & M 第一位二进制位有多少1，第二位有多少1，······，这些个数乘以对应的二进制位的权(就是2的多少次幂)，再相加，就是我们要的答案了。
紧接着又会有一个问题，怎么去找二进制位上的1呢。我们考虑计算第 i 位是 1 的数量， [km / 2ⁱ] (记为1式)，这样会多更高位的信息，那么我们减去 [km / 2⁽ⁱ⁺¹⁾] * 2 (记为2式)，就可以把更高位的信息去掉了，若第 i 位有 1，算出的结果就是1，若第 i 位是0，那么结果就是0。
有了这个结论，那么就直接从1到 N*M 调用 f 函数求就可以了。

代码：

#include 
using namespace std;

typedef unsigned long long ull;
typedef __int128 ll;
const int mod = 1e9+7;

ll f(ll a, ll b, ll c, ll n)
{
    if(a == 0)
        return (n+1) * (b/c);
    if(a < c && b < c)
    {
        ll m = (a*n+b)/c;
        if(m == 0)
            return 0;
        return n*m - f(c, c-b-1, a, m-1);
    }
    return f(a%c, b%c, c, n) + (n+1)*(b/c) + (n+1)*n/2*(a/c);
}

ll n, m, ans;
ull x, y;
int res;

int main()
{
    scanf("%llu%llu", &x, &y);
    n = x, m = y;
    for(ll i = 1; i <= n*m; i += i)
        if(m & i)
            ans += (f(m, m, i, n-1)%mod - f(m, m, i+i, n-1)*2%mod + mod)*i % mod;
    res = ans % mod;
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}