树状数组——求逆序对个数（初学者都能看懂）

在网上翻看了一些博客，感觉大体对于树状数组求逆序对的讲解不够详细，那些博客，更多像是给已经学会逆序对的人复习用的。而初学者，可能要冥思苦想。接下来，我便从一个初学者的角度，来一步步的，讲解一下由树状数组求逆序对。需要的前置知识只有，会线段数组的基本应用。单点更新，区间查询，求lowbit。
先贴树状数组的基本代码。
求lowbit

int lowbit(x){return x&(-x);}

单点更新

void update(int x,int y,int n){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))    //x为更新的位置,y为更新时增加的数,n为数组最大值
        c[i] += y;
}

区间查询

int getsum(int x){
    int ans = 0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans += c[i];
    return ans;
}

下面开始正题
逆序对的原理：在一组数中，如果ia[j],则这就是一组逆序对。
我们一般求逆序对的方法，对于每一个数，求出在它后面的且比它小的数。
代码如下：

int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	for(int j=i+1;j<=n;j++)
	{
		if(ap[i]>ap[j])ans++;
	}
}

时间复杂度明显是n^2的，那能不能有更快的方法呢，就是用树状数组啦。
我们想一想，树状数组能够解决哪些问题，求某个区间的数的和，我们能不能将求逆序对的问题向这个方向转化呢？

我们在换一种角度来看看逆序对：对于每一个数，可能和前面的数形成逆序对，也可能与后面的数形成逆序对。那我们化简一下，对每个数来说，我们只考虑其作为逆序对中第二个数的逆序对，然后将这样的逆序对加起来，实际上就是总逆序对个数。为什么呢，因为每个逆序对有两个元素，第一个数，第二个数。我们将逆序对的第二个数的情况都考虑完了，实际上已经考虑完了所有的逆序对。

所以怎么把它转化为树状数组的问题呢。
还是举个例子吧：比如该数组为 5 3 4 2 1 7
刚开始先插入5，单点更新5这个位置+1，然后查询区间1到4的数，则逆序对加0个：1-0-1=0（第i个插入-该数前面的数-本身）这个数是在它前面插入并且在它右边的数，没错，这就是以该数为第二个数的逆序对了，在它前面插入的数才会在该数进行计算的时候包含在内。
完整来一遍
插入5，逆序对加（1-0-1）。
插入3，逆序对加（2-0-1）。
插入4，逆序对加（3-1-1）。
插入2，逆序对加（4-0-1）。
插入1，逆序对加（5-0-1）。
插入7，逆序对加（6-5-1）。
代码如下。

单点更新

void update(int x,int n){
    for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))    //x为更新的位置n为数组最大值
        c[i] ++;
}

区间查询

int getsum(int x){
    int ans = 0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
        ans += c[i];
    return ans;
}

综合代码

//原数组 
int ap[maxn+1]={0};
//树状数组 
int c[maxn+1]={0};
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
	scanf("%d",&ap[i]);
	update(ap[i],n);
	ans+=(i-getsum(ap[i]-1)-1);
}

这样的时间复杂度就是nlgn的。
但是，是不是有些问题，如果按照一般来说的话，如果要求数仅小于10^9，那难道还开这么大的数组吗，肯定爆了，那怎么办？
术语好像是离散化，我们说白一点，就是用更简单的数来表示相对大小。
比如1234 1526 128783 121 2343 23423432
我们可以用2 3 5 1 4 6来代替相对大小，求得的逆序对个数不变。
当然，这样的时间复杂度过高。还有一种方法，就是用结构体将（1234，跟数组下标1合起来），其他几个数也是，然后对1234 1526 128783 121 2343 23423432进行排序，可以发现得到的次关键字 4 1 2 5 3 6，你会发现它的逆序对个数和原数1234 1526 128783 121 2343 23423432一样。为什么，你看看：
1234 1526 128783 121 2343 23423432
1 2 3 4 5 6
猜测1：当上面数组中任意两个数交换时，逆序对减少多少个，下面的数就加上多少个逆序对。所有上面逆序对加下面逆序对等于定值。
猜测2：对称性，对上面排序得到下面，对下面排序得到上面。
1234 1526 128783 121 2343 23423432
1 2 3 4 5 6
排序得到
121 1234 1526 2343 128783 23423432
4 1 2 5 3 6。
进行相对变换
1 2 3 4 5 6
2343 121 1234 128783 1526 23423432。
没推出来，等以后有实力了再补，希望大家能评论帮助。