费马小定理证明

费马小定理的证明：----------来自 费马小定理 

 

先给出完全剩余系的定义：

 

完全剩余系：从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。 

a，b 互质说明 GCD(a,b)=1

 

如果 a1,a2……,am 是 mod m 的完全剩余系，且 b 与 m 互质，证明：a1*b , a2*b ……, am*b 也为 mod m 的完全剩余系

证明：

假设存在 ai*b = aj*b (mod m)，因为是完全剩余系，所以只需要证明假设不成立即可

∵ ( ai -aj )*b=0 (mod m) 

又 m，b 互质

∴ ( ai-aj ) mod m=0    =>    ( ai-aj ) =km 

又 ai , aj 属于 mod m 的完全剩余系

∴  (ai - aj) != km,

∴ 假设不成立，证毕

∴ 在 b，m 互质的条件下， a1*b , a2*b ……, am*b 是 mod m 的完全剩余系

 

 费马小定理：

 

定义：在 p 为素数，a，p 互素的情况下，有  =1 (mod p)

证明：

0,1,2,3,4,…… p-1 是 mod p 的完全剩余系

∵ a，p 互质

∴ 根据以上证明 ，得：a，2a，3a，…… a(p-1) 也为 mod p 的完全剩余系

∴ 根据模运算的性质，有： 1*2*3*…… (p-1) = a*2a*3a* …… a(p-1) (mod p)

∴ (p-1)! = (p-1)! *  （mod p）

∴  =1 (mod p) ，证毕

 

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