算法-最短距离问题

问题：

设 A 和 B 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 A 转换为字符串 B 。这里所说的字符操作共有三种：

1. 删除一个字符；
   

2. 插入一个字符；
   

3. 将一个字符改为另一个字符。
   

对任给的两个字符串 A 和 B ，计算出将字符串 A 变换为字符串 B 所用的最少字符操作次数。

1． 阐述实验原理

这个问题本质上是一个无向图的问题，固定了起点和终点，起点为字符串 A ，终点为字符串 B 。但是每一个点所对应的分支太多。所以我们需要对其进行转化。在以下特殊情况下，最短编辑距离容易求出：

1. 当 A 、 B 的长度都为 0 时，最短编辑距离为 0
   

2. 当 A 的长度为 0，B 的长度不为0，最短编辑距离为 A 的长度
   

3. 当 A 的长度不为0，B的长度为0，最短编辑距离为 B 的长度
   

我们可以将所有的字符串转化为以上的三种情况。

可以尝试使用动态规划来解决。动态规划对于有向无环图比较合适，如果我们只对字符串 A 、 B 的最后一个字符做操作，而且将“增删改”变为“删改”，那么无向图就变成了有向无环图。使用动态规划，首先需要定义状态。我们可以把 A,B 变换成的子串的长度 (i,j) 看成一个状态，然后定义状态 (i,j) 的指标函数 d(i,j)为 (i,j) 变为相同子串所需的最小编辑次数。然后观察不同状态之间是如何转移的，从状态 (i,j) 出发有三种决策，分别对应题目中所给出的三种字符操作（三种字符操作都是对最后一个字符的操作）。

1. 删除一个字符 ==> 删除 A 字符串的最后一个字符，转移到了 (i−1,j)
   

2. 插入一个字符 ==> 在 A 字符串末尾插入 B 字符串的一个字符，相当于 B 字符串删除一个字符，转移到了 (i,j−1)
   

3. 将一个字符改为另一个字符。 ==> 将 A 的最后一个字符改为 B 的最后一个字符，将状态转移到了 (i−1,j−1)
   

则状态转移方程为：

d(i,j)=min{d(i−1,j)+1,d(i,j−1)+1,d(i−1,j−1)+c}

式中，当子串的最后一个字符相同时， AB 的最小编辑距离与 AB 都去掉最后一个字母的最小编辑距离相同，所以 c=0，否则 c=1。

2． 提交实验程序和注释

#include

#include

using namespace std;

int main()

{

int n=5,m=9,i,j;

char word1[5]={‘h’,‘e’,‘l’,‘l’,‘o’};

char word2[9]={‘h’,‘e’,‘l’,‘l’,‘o’,‘h’,‘i’,‘j’,‘k’};

int dist[n][m];

for(int i = 1; i <= n; ++i)

        dist[i][0] = i;

for(int j = 1; j <= m; ++j)

        dist[0][j] = j;

for(j=1;j<=m;j++){

for(i=1;i<=n;i++){

    if(word2[j]==word1[i]){

        dist[i][j]=dist[i-1][j-1];



    }

    else{

        if(j>i){

            dist[i][j]=1+dist[i-1][j];

        }

        if(j

}

printf("%d",dist[i][j]);

}