洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

洛谷 P3379

题目

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

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输入

第一行包含三个正整数 $N$,$M$,$S$，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来 $N$−1 行每行包含两个正整数 $x$,$y$，表示 $x$ 结点和 $y$ 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a$,$b$，表示询问 $a$ 结点和 $b$ 结点的最近公共祖先。

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输出

输出包含 $M$ 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

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样例

input
5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

output
4
4
1
4
4

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说明/提示

对于 30% 的数据，$N$≤10，$M$≤10。
对于 70% 的数据，$N$≤10000，$M$≤10000。
对于 100% 的数据，$N$≤500000，$M$≤500000。

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样例说明：

该树结构如下：
第一次询问：2,4 的最近公共祖先，故为 4。
第二次询问：3,2 的最近公共祖先，故为 4。
第三次询问：3,5 的最近公共祖先，故为 1。
第四次询问：1,2 的最近公共祖先，故为 4。
第五次询问：4,5 的最近公共祖先，故为 4。
故输出依次为 4,4,1,4,4。

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解题思路

假设我们要求$x$,$y$的最小公共祖先
很容易想到先让深度大的那个往上走
$x$,$y$深度一样后，再同时一步一步再接着一步
直到找到一个共同的祖先
但是这样的查询一次就是$O$（$n$）

看题目就知道要学一个东东叫$LCA$
也就是用来求最小公共祖先的算法
先学一下倍增这个概念
通过倍增可以想到，我们一次可以跳不止一步
我们可以让它一次就跳2^$j$步（保证跳完之后没有超过边界，也不会跳过最小的公共祖先）
设$f$[$i$][$j$]以$i$为当前节点，跳了2^$j$步后对应的节点

• $f$[$i$][0]=它的父节点
• $f$[$i$][$j$]=$f$[$f$[$i$][$j$-1]][$j$-1] 跳了一半再一半

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代码

#include
#include
#include
using namespace std;
struct hhx{
	int to,next;
}a[1000100];
int t,n,m,s,x,y;
int f[500100][50],head[500100],dep[500100];
void add(int x,int y)  //连接 
{
	 a[++t].to=y;
	 a[t].next=head[x];
	 head[x]=t;
}
void dfs(int d,int fa)
{
	 f[d][0]=fa;   //走一步，到父节点 
	 dep[d]=dep[fa]+1;  //累加深度 
	 for (int i=head[d];i;i=a[i].next)  //枚举子节点 
	     if (a[i].to!=fa) dfs(a[i].to,d);  //继续往下走 
}
int lca(int x,int y)
{
	if (dep[x]>dep[y])
	   swap(x,y);
	int c=dep[y]-dep[x],j=19,t=1<<j;
	while (c)
	{
		  if (c>=t)
		  {
		  	 y=f[y][j];
		  	 c-=t;
		  }
		  t/=2;
		  j--;
	}  //使x,y深度相同
	if (x==y)  //x就是x,y的最小公共祖先
	   return x;
	j=19;
	while (j>=0)  //同时走
	{
		  if (f[x][j]!=f[y][j])
		  {
		  	 x=f[x][j];
		  	 y=f[y][j];
		  }
		  j--;
	}
	return f[x][0];
} 
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); 
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	dfs(s,0);
	for (int j=1;j<20;j++)  //枚举步数，2^20够了
	    for (int i=1;i<=n;i++)  //枚举点 
		    f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]; //等于以走了一半的那个点作为起点，再走了一半 
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		printf("%d\n",lca(x,y));
	} 
}