背包九讲

目录

1. 01背包
2. 完全背包
3. 多重背包
4. 混合背包
5. 分组背包
6. 二维费用背包
7. 有依赖背包
8. 背包问题的方案及方案数

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1.01背包：

问题描述：有n种物品，每个物品的数目是1，价值是w，体积是v，有一个容量V的书包，问书包所能装的最大价值是多少？

• dp [ i ] = max( dp [ i ] , dp [ i - v[ i ] ] + w [ i ] )

从大到小枚举，原因：一维的转移方程实际上是由二维演变过来，对于每个物品，有取和不取两种取法，当枚举到第i个物品时，他只由dp [ i-1]转移，所以说，前面的dp（1~i-2）是不需要的，原理如图：

2.完全背包：

问题描述：有n种物品，每种物品的数目是无限个，价值是w，体积是v，有一个容量V的书包，问书包所能装的最大价值是多少？

• dp [ i ] = max( dp [ i ] , dp [ i - v[ i ] ] + w [ i ] )

从小到大枚举，理由如上图，如果从小到大枚举相当于之前的状态可多次选取。

3.多重背包

问题描述：有n种物品，每种物品的数目s，价值是w，体积是v，有一个容量V的书包，问书包所能装的最大价值是多少？

二进制拆分，拆分出来的数可以组成，0~这个数之间的所有数。然后问题就转换为01背包了。

using namespace std;

vectorans;
int dp[1010];
int main()
{
	int n,V;
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,w,s;
		cin>>v>>w>>s;
		for(int k=1;k<=s;k*=2)
		{
			s-=k;
			ans.pb(mk(k*v,k*w));
		}
		ans.pb(mk(s*v,s*w));
	}
	for(auto it : ans)
	{
		for(int i=V;i>=ans.first;i--)
		dp[i] = min(dp[i],dp[i-ans.first]+ans.second);
	}
	cout<

4.混合背包：

问题描述：前面三种物品的混合。

首先把多重背包二进制拆分成01背包存到vector中，那么此时物品种类只有两种，枚举物品，如果这个物品是01背包，从大到小枚举，否则从小到大枚举。

using namespace std;

struct node {
	int type,v,w;
};
vectorans;
int dp[1010];
int main()
{
	int n,V;
	cin>>n>>V;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,w,s;
		cin>>v>>w>>s;
		if(s == -1)ans.pb({-1,v,w});
		else if(s == 0)ans.pb({0,v,w});
		else
		{
			for(int k=1;k<=s;k*=2)
			{
				s-=k;
				ans.pb({-1,v*k,w*k});
			}
			ans.pb({-1,s*v,s*w});
		}
	}
	for(auto it : ans)
	{
		if(it.type == -1)
		{
			for(int i=V;i>=it.v;i--)dp[i] = max(dp[i],dp[i-it.v]+it.w);
		}
		else 
		{
			for(int i=it.v;i<=V;i++)dp[i] = max(dp[i],dp[i-it.v]+it.w);
		}
	}
	cout<

5.分组背包：

每组物品有若干个，组内物品互斥，每组中的只能选择一个，求背包的总价值。

三重循环，枚举每一组中的所有物品，对于这组内的每个物品，都由上一组转移。

所以过程就是，首先枚举组，然后枚举转移的状态，然后枚举组内的物品，复杂度是n^3.

using namespace std;
vectorG[105];
int v[1005],w[1005],d[1005];
int main()
{
    int V,n,mm=0;
    scanf("%d%d",&V,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        cin>>v[i]>>w[i]>>x;
        G[x].push_back(mk(v[i],w[i]));
        mm=max(mm,x);
    }
    for(int i=1;i<=mm;i++)
    {
        for(int j=V;j>=0;j--)
        {
            for(auto it : G[i])
            {
                if(j>=it.first)d[j]=max(d[j],d[j-it.first]+it.second);
            }
        }
    }
    cout<

6.二维费用背包：

问题描述：背包的限制不止有体积，还有重量。

拓展维度，01背包从大到小枚举两个限制，完全背包从大到小。

using namespace std;

int dp[1010][1010];
int main()
{
	int n,V,M;
	cin>>n>>V>>M;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int v,m,w;
		cin>>v>>m>>w;
		for(int j=V;j>=v;j--)
			for(int k=M;k>=m;k--)
				dp[j][k] = max(dp[j][k],dp[j-v][k-m]+w);
	}
	cout<