高斯消元（自由元，无解）

题目

描述：

给出一个线性方程组，有n个方程组，m个未知数。解这个线性方程组。

输入：

第1行：2个整数n和m，(n, m <=400，且n不一定等于m)
接下来n行，每行m+1个整数，表示一个方程的m个未知数的系数和常数（数值不超过1000）

输出：

如果无解，输出“No solution”。
如果有唯一解，输出m行，每行一个未知数的值，保留到小数点第4位。格式见样例。
如果有无穷解，输出m行，如果未知数有确定解，直接输出。如果是自由变元，输出“xx not determined ”格式见样例。
样例输入1：
3 3
2 -1 3 1
4 2 5 4
2 0 2 6
样例输出1：
X[1] = 9.0000
X[2] = -1.0000
X[3] = -6.0000

样例输入2：
3 3
2 -1 3 1
4 -2 5 4
2 -1 4 -1
样例输出2：
X[1] not determined
X[2] not determined
X[3] = -2.0000

样例输入3：
3 4
5 -1 2 1 7
2 1 4 -2 1
1 -3 -6 5 0
样例输出3：
No solution

基本思想

$\{\begin{array}{l}2x_1-1x_2+3x_3=1\\ 4x_1+2x_2+5x_3=4\\ 2x_1+0x_2+2x_3=6\end{array}$
对于上面这个方程，我们想要将其化成这个样式：
$\{\begin{array}{l}{c}_1{x}_1+0x_2+0x_3=va{l}_1\\ 0x_1+c_2{x}_2+0x_3=va{l}_2\\ 0x_1+0x_2+c_3{x}_3=va{l}_3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{c}_1{x}_1+0+0=va{l}_1\\ 0+c_2{x}_2+0=va{l}_2\\ 0+0+c_3{x}_3=va{l}_3\end{array}$
即把其他项的系数都消为零，所以方程的解就为：
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=va{l}_1/c_1\\ x_2=va{l}_2/c_2\\ x_3=va{l}_3/c_3\end{array}$$
所以我们对于第$i$个方程，我们就用$x_i$的系数来对其他$n-1$个方程消元，以下几点要注意：
1、我们要对每一个$x$我们都要进行一次消元
2、对于其他$n-1$个方程中的$x_p(i!=p)$的系数，我们也要相应的消一部分（或加），而$va{l}_p$也要消（或加）
3、对于精度问题，我们将现在方程中$x_i$系数的绝对值最大的方程与第$i$个方程互换，用它的系数来进行对其他$n-1$个方程的消元（从分数上来说，这样对方程的解无影响，小数就不一定了）
代码大概长这样：注意：这仅仅是消元

int now = 1, k = 1; ————now表示第几个未知数，k表示第几个方程
for(k = 1; k <= n && now <= m;  k ++, now ++){
    int j = k;
    for(int i = k + 1; i <= n; i ++){
    	if( fabs(a[j][now]) < fabs(a[i][now]) )
        	j = i;
    }
    if( fabs(a[j][now]) < 1e-7 ){
    	k --;————第now个x已经消过了，而这一行方程还有用，所以就直接消下一个x
    	continue;————也可以间接说明这个未知数为自由元
    }
    if( j != k )————把绝对值最大的放在第k行
        for(int i = 1; i <=m+1; i ++)
        	swap(a[j][i] , a[k][i]);
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
    	if( fabs(a[i][now]) > 1e-7 && i != k ){————对其他n-1个方程消元
        	double t = a[i][now]/a[k][now];————系数比
            for( int j = now; j <= m+1; j ++ )
            	a[i][j] -= t * a[k][j];
    	}
	}
}

无解情况

我们知道若方程有$n$个未知数，那么就需要$p（p>n）$个方程，因为我们只消$n$个元，因此若方程有解那么剩下$p-n$个方程的$val$肯定为0
毕竟不会出现这种情况$0\ast x_1+0\ast x_2+0\ast x_3=val(val̸=0)$
因此只需要判断剩下方程中的$val$是否为零，是的话就无解了

for( int i = k; i <= n; i ++ ){
	if( fabs(a[i][m+1]) > 1e-6 ){
		printf("No solution");
		exit(0);
	}
}

自由元情况

我们用$v_i$来存储$x_i$是否为自由元（$v_i=1$表示$x_i$为确定元）
我们就检查前$k-1$个以解出的方程，若方程中只有一个未知数的系数不为零，我们就解出这个未知数，并把$v_i$记为1，为后面的解方程做铺垫；若方程中有多个（>1）未知数无法确定，我们就不处理这个方程，再把前$k-1$个方程全部解完后，我们再解一遍就行了

if( k <= m ){
        for(int i = 1; i < k; i ++ ){
            int sum = 0 , by = 0;
            for(int j = 1; j <= m; j ++ ){
                if( fabs(a[i][j]) > 1e-7 && !v[j] ){
                    sum ++;
                    by = j;
                }
            }
            if( sum > 1 )
                continue;
            double temp = a[i][m+1];
            for( int j = 1; j <= m; j ++ ){
                if( j != by && fabs(a[i][j]) > 1e-7 )
                    temp -= a[i][j] * x[j];
            }
            x[by] = temp / a[i][by];
            v[by] = 1;
        }
        return ;
    }
    for( int i = m; i >= 1; i -- ){
        double tmp = a[i][m+1];
        for( int j = i + 1; j <= m; j ++ )
            tmp -= a[i][j] * x[j];
        x[i] = tmp/a[i][i];
        v[i] = 1;
    }