数据结构笔记整理第6章：图

第6章 图

本章内容

本章主要介绍图的概念，存储结构、图的遍历方法、计算最短路径、最小生成树的方法等，本章在考研中是重点内容。

6.1 图相关的基本概念

图由结点（顶点）的有穷集合V和边的有穷集合E组成。边是顶点的有序偶对，若两个顶点之间存在一条边，就表示这两个顶点具有相邻关系。

有向图：边带有方向。边称为弧，含箭头的一端称为弧头，另一端称为弧尾。

6.2 图的存储结构

邻接矩阵：表示顶点之间相邻关系的矩阵，图的顺序存储结构。设G = (V, E)是具有n个顶点的图，则G的邻接矩阵是具有如下定义的n阶方阵A：
A[i][j] = 1表示顶点i与顶点j邻接；
A[I][j] = 0表示顶点i与顶点j不邻接；
对于无向图：邻接矩阵是对称的，第i行或者第i列的元素之和即为顶点i的度；
对于有向图：第i行元素之和为i的出度，第j列元素之和为j的入度。

邻接表：图的链式存储结构。第一个结点存放有关顶点的信息，其余存放边的信息。

//代表边的结点
typedef struct ArcNode {
    int adjvex;//该边指向的顶点
    struct ArcNode *nextarc;//指向下一条边的指针
    int info;//权重等
} ArcNode;

//代表顶点
typedef struct VNode {
    char data;
    ArcNode *firstarc;//指向第一条边的指针
} VNode;

//邻接表
typedef struct AGraph {
    VNode adjlist[maxSize];
    int n, e;
} AGraph;

【例子1】：邻接表

6.3 图的遍历算法

深度优先搜索遍历（DFS）： 类似二叉树的先序遍历：首先访问出发点V，并将其标记为已访问过，然后选取与V邻接的未被访问的任意一个顶点W，并访问它；再选取与W邻接的未被访问的任意顶点并访问，依次重复进行。当一个顶点所有的邻接顶点都被访问过，则依次退回附近被访问过的顶点，若该顶点还有其他邻接顶点未被访问，则选取一个重复进行直到图中所有顶点都被访问。

int visit[maxSize];//标记顶点是否被访问过，初始化为0
/*
 * @param   g       The graph to be visited.
 * @param   v       The start point of the graph.
 * Using DFS to visit graph.
 */
void DFS(AGraph *g, int v) {
    ArcNode *p;
    visit[v] = 1;//设置v号顶点（起点）被访问过
    Visit(v);//代表对该结点进行访问操作
    p = G->adjlist[v].firstarc;//p指向v的第一条边
    while(p != null) {
        //如果该顶点未被访问过
        if (visit[p->adjvex] == 0) {
            DFS(g, p->adjvex);
            p = p->nextarc;
        }
    }
}

【例子2】：DFS

广度优先搜索遍历（BFS）: 类似二叉树的层次遍历，需要用到一个队列实现：
1.任取图中一个顶点，访问后入队，标记为已访问；
2.队列不空的时候，循环执行：出队、依次检查出队顶点的所有邻接顶点。访问没有被访问过的所有邻接顶点并将其入队；
3.当队列为空的时候，跳出循环，广度优先搜索完成。

int visit[maxSize]//标记顶点是否被访问过，初始化为0
/*
 * @param   g       The graph to be visited.
 * @param   v       The start point of the graph.
 * Using BFS to visit graph.
 */
void BFS(AGraph *g, int v) {
    ArcNode *P;
    Queue  q;
    int temp;//存储当前出队的顶点
    visit[v] = 1;
    Visit(v);
    q.initial();
    q.push(v);
    while(!q.empty()) {
        q.pop(temp);
        p = G->adjlist[temp].firstarc;//p指向出队顶点的第一条边
        //p所有邻接点中，未被访问的顶点入队
        while(p != null) {
            if (visit[p->adjvex] == 0) {
                Visit(p->adjvex);
                visit[p->adjvex] = 1;
                q.push(p->adjvex);
            }
            p = p->nextarc;
        }
    }
}

【例子3】：BFS

利用邻接表存储图的时候，两种算法的时间复杂度是O(n+e)
利用邻接矩阵存储的时候，两种算法的时间复杂度是O(n^2)

6.4 最小代价生成树算法

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。[1]这里我们介绍两种生成最小生成树的算法：普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。这两个算法，在考研中比较要求思路和过程，对于代码的实现方式考察不是很多，所以重点要理解建树的过程，这里就不贴代码了。

普里姆算法： 从图中选出一个作为顶点，把它当作一棵树，然后从与这棵树相接的边中选择一条路径最短（权值最小）的边，并将这条边及其所连接的顶点也并入树中，以此类推，直到图中所有顶点都被并入树中为止。
【例子4】：普里姆算法求最小生成树

克鲁斯卡尔算法： 一句话来描述该算法：在不构成环的情况下，每次选权值最小边加入生成树。
【例子5】：克鲁斯卡尔算法求最小生成树

两种算法的比较

6.5 最短路径算法

求一个顶点到其他各顶点的最短路径：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法： 求一个顶点到其他各顶点的最短路径。
（1）初始化：用起点V到该顶点W的直接边初始化为最短路径，否则设为∞；
（2）从未求得最短路径的终点中选择路径长度最小的终点U：即求得V到U的最短路径；
（3）修改最短路径：计算U的邻接点的最短路径，替代之；
（4）重复以上步骤，直到求得V到其余所有顶点的最短路径。
算法复杂度：O(n^2)
【例子6】：迪杰斯特拉算法求最短路径

dist[]：存储当前已找到的从起点V0到其他顶点Vi的最短路径长度。
path[]：保存从起点V0到其他顶点Vi最短路径中，Vi的前一个顶点。

由上述过程可知：从顶点0到顶点1~6**最短路径长度**分别为：4，5，6，10，9，16

弗洛伊德算法： 求图中任意一对顶点之间的最短路径。（考的概率不大；即使考，内容和形式也不难）
（1）设矩阵A，Path，初始化将图的邻接矩阵赋值给A,将Path全置为-1；
（2）以顶点K为中间顶点，J取0~n-1（n为图中顶点个数），对图中所有顶点对{i, j}进行如下检测和修改：
如果A[i][j] > A[i][k] + A[k][j]，则将A[i][j]改为A[i][k] + A[k][j]的值，将Path[i][j]改为k。

/* 应该不会考白板默写代码，这里贴出来仅仅供大家进一步理解算法 */
void Floyed(AGraph g, int A[][maxSize], int Path[][maxSize]) {
    int i, j, k;
    for (i = 0; i < g.n; i++) {
        for (j = 0; j < g.n; j++) {
            A[i][j] = g.edges[i][j];
            Path[i][j] = -1;
        }
    }
    for (k = 0; k < g.n; k++) {
        for (i = 0; i < g.n; i++) {
            for (j = 0; j < g.n; j++) {
                if (A[i][j] > A[i][k] + A[k][j]) {
                    A[i][j] = A[i][k] + A[k][j];
                    Path[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

6.6 拓扑排序与关键路径

AOV网：一种以顶点表示活动，以边表示活动的先后次序并且没有回路的有向图。
有向无环图（DAG），AOV网进行拓扑排序：将图中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对儿顶点U和V，若存在由U到V的路径，则在拓扑排序序列中一定是U出现在V的前面。若一个有向图能够被拓扑排序，则它一定是一个有向无环图。
即：每次删除入度为0的顶点并输出之。
**时间复杂度：**O(n+e)，n代表顶点个数，e代表边的条数。
AOE网：边表示活动，边有权值，边代表活动持续时间。
关键路径：路径长度最长的路径。
【例子7】：拓扑排序例子

拓扑排序的结果不一定是唯一的，如：ACBDE也是以上DAG图的拓扑有序序列。

关键路径算法：
事件（顶点）i：最早发生事件ve(i)，最晚发生时间vl(i)
活动（边）a(i, j)：最早开始时间e(e, j)，最晚开始时间l(i, j)
（1）按拓扑有序排列顶点：对顶点拓扑排序；
（2）计算ve(j)：ve(1)=0，ve(j)=max{ve(*)+a(*, j)}，其中*为任意前驱事件；
（3）计算vl(i)：vl(n)=ve(n)，vl(i)=min{vl(*)-a(i, *)}，其中*为任意后继事件；
（4）计算e(i, j)和l(i, j)：e(i, j)=ve(i)，l(i, j)=vl(j)-a(i, j)
（5）工程总用时ve(n)，关键活动是e(i, j)=l(i, j)的活动是a(i, j)
【例子8】：关键路径求法


工程完工需要15，关键路径是：1->2->5->6->8->9

参考资料

1.严蔚敏《数据结构与算法分析》：清华大学出版社，2011