补码运算的本质

※补码运算的本质数学原理就是取模求余※
设二进位表示的位数共有$n$位，那么实际上所有的运算结果都对$2^n$求余
比如说有两个数$a$和$b$，他们相加的结果实际上就是$(a+b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^n$
但是直接这么相加的前提是他们都是正数，而负数是有符号位的，不能就直接这么参与运算
所以还是假设$a$和$b$都是正数（均小于$2^n$，如果比$2^n$就要先取模求余），那么相减怎么统一为相加呢，很简单：
$(a-b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^n=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^n-b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^n=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^n+(-b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^n=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(2^n)+(2^n-b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^n$
这里$a$是正数，$2^n-b$也是正数
试想反码和补码的定义，如果一个数加上它的反码那么就是一个二进位全是1的数也就是$2^n-1$，对于负数来说补码是反码+1，那么如果一个负数加上它的补码实际上就等于$2^n$
所以负数的补码设计的精妙之处如下：
如果有一个负数$x$，它之所以是负数就是因为符号位是$1$，那么现在将它的符号位看成普通二进制位，也就是说将这个负数的原码形式看成是一个无符号数，那么也就是说可以看成是一个正数$x^{\prime }$进行正常运算，那么这个负数$x$（正数形式下的$x^{\prime }$）的补码就是$2^n-x^{\prime }$，由于$x^{\prime }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^n=(2^n-x^{\prime })\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{2}^n$，所以$x^{\prime }$（二进制下和负数$x$的表示是一样的）和$2^n-x^{\prime }$（二进制下和负数$x$的补码表示是一样的）在对$2^n$取模的意义上是同一个数，可以这么理解，这两个数的区别在于一个进行顺时针旋转，一个进行逆时针旋转（这里旋转指的是是对$2^n$取模后的数实际上是构成一个域的，比如127再顺时针转一下就是-128了）所以这里采用补码还是原码实际上是挑选了一个旋转方向
另附一篇还不错的blog探究计算机中补码运算的本质