matlab做三维线性拟合（多元线性回归，准确来说不叫插值）

matlab三维拟合（多元线性回归）

问题描述

今天同学问了我一个问题，大概意思是给了你三列输入数据，一列输出数据，想用一个线性超平面做一个最小二乘拟合（注意这里不能叫插值）。

一点思考

刚听到这个问题，同学说的是做插值，说想要做一个插值，这种说法不准确的，不想说回归的话，你可以说这是一个拟合。插值和拟合的区别在哪呢？插值要求你做出来的函数（比如说多项式插值）要经过所有给定的数据点，而拟合只要求尽可能地经过，但不要求所有点都落在函数上。“尽可能”，可以说是基于最小二乘的一种尽可能。一般我们说的n次多项式插值（一维），是给你若干个数据点，让你去做n次多项式插值，如果给定的点的个数小等于n+1，那么这个插值多项式是存在的，它能保证给定的已知数据点都落在这个多项式（图像）上，但是不一定唯一，如果给定的点大于n+1，那么不好意思，这时候，插值函数不存在，也就说不能插值。拟合，要求你给定一个函数表达式，里面带有未知数（输入），也带有一些未知的参数，现在让你去确定这些未知参数，使得这个表达式尽可能地去拟合一些输入点。
简单地说，就是插值要求已给定的每个点都精确落在函数上，单这个要求不满足时，插值就不存在。拟合是给定你函数形式，要求已给定的每个点都尽可能地落在函数上，它总是存在的。但给定n+1个点，那么n次多项式插值和n次多项式拟合就是一样样的，精确且唯一。

简单分析

同学说的这个问题啊，你要是一心觉得这是个插值问题，就容易想到matlab中的interp3这个函数，而且里面也有一个参数是选定为线性插值。为什么多个数据点，但是还会有线性插值这东西的存在呢？听起来跟我前面说的矛盾。其实啊，matlab的interp函数的插值是局部的，也就是说，它所谓的线性插值，插出来的是分段线性函数 ，用的是两个相邻的点来做线性插值，这和我们的要求是不一样的。
怎么办呢？对于三维的线性拟合问题，有一些内置的matlab函数是可以用的，比如说rstool、griddata、regress和fitlm等等。我这里以regress为例，来做个实现。

实现

regress函数是用来做回归的，所谓的多维的线性拟合，不就是多元线性回归么，如果学过一点统计的话，这个是不难理解的。
regress的基本用法就是[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X);

• 这里的 b是拟合得到方程的系数矩阵，b(1)表示X的第一列代表的变量坐标分量的系数（一般设为常数项），b(2)表示X的第二列代表的变量坐标分量的系数（比如可以设为x1）……以此类推……
• bint是回归系数的区间
• r残差
• rint置信区间
• stats用于检验回归模型是否正确，分别是R的平方（越接近1越好），F值，P值（尽可能小，比如说P<0.05就表示拟合很好）。

此时，我care的只是b值多少，在看看stats的第一个值是不是接近1。
给出一个简单的代码示例如下：

clc
clear

%% 多元线性回归模型
y=[7613.51  7850.91  8381.86  9142.81 10813.6]';
x1=[7666 7704 8148 8571 8679 ]';
x2=[16.22 16.85 17.93 17.28 17.23]';
x3 = x1.*x2;
X=[ones(size(y,1),1) x1 x2 x3];
[b,bint,r,rint,stats] = regress(y,X);
%% 预测和计算
X_in = [8000 50 10000];%测试数据，每一列表示一个变量
X_pre = [ones(size(X_in,1),1) X_in];
y_pre = X_pre*b;
rcoplot(r,rint) 

这里的X在每一列变量构成的变量集前面再加一列1，表示拟合结果中，这一列“变量”对应的系数值为常数。那么你在输入新的数据做预测的时候，也得在变量前面加一列1。rcoplot拿来干嘛用呢？大概就是想用残差图让你直观地看看拟合的效果如何，看不同没事，之家看R方值是不是靠近1也是很够了。
因为是三维的，每个变量都有三个值（对应三个坐标分量），这个时候，一般是用点的颜色深浅来代表函数值，想要做个图直观看一下拟合效果是不大好弄的。

以上就是三维或者更高维数据点的全局拟合的一个方法，全局的拟合，不代表局部的插值，这个不能interp函数混为一谈。这种拟合放到统计中，叫做回归。回归往往和最小化误差和是分不开的，这种思想就叫做最小二乘。