博弈论(1)例题：纳什均衡 （投票还是不投票/合资问题/n 个企业的古诺模型）博弈论导论 Steven Tadelis － Game Theory. An Introduction

这些都是之前上课的作业，就是做个整理（我按照作业分章节的），也希望能帮助大家学习叭~

作业会附上部分中文题目和英文（就是检索内容，具体的题目全部贴图，打公式真的太难了555），有些公式可能有点问题，我尽量改但是可能有些会没注意到，我将来源写出来了，大家不放心的话可以看看原文。

Steven Tadelis － Game Theory. An Introduction的奇数题没有答案，所以这些解法也是仅做参考，助于学习而已。

目录

1 投票还是不投票（5.17）

To Vote or Not to Vote (5.17)

2 合资问题(5.13)

Comparative Economics(5.13)

3. n 个企业的古诺模型

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1 投票还是不投票（5.17）

两个候选人 D 和 R 在有 n 名居民的城镇竞选市长。当总共有 0 < d < n 名居民支持候选人 D  时，剩余的居民 r = n − d  则支持候选人 R。居民可以选择其是否为支持的候选人去投票。若该居民支持的候选人获胜他将获得的回报为4，若候选人平局则居民均获得回报为2，如果支持的候选人输了将获得 0，同时去投票会消耗每名市民 1 单位成本。注：即使居民未去投票，候选人平局，居民也会获得回报。

(a)  当 n = 2 并且 d = 1 时，以矩阵的形式表述该博弈并且求解纳什均衡。
(b) 当 n > 2 且为偶数，并且 d = r = n/2 ，找出所有的纳什均衡。
(c)  当每次投票消耗居民 3 单位成本。（a）和（b）的答案会如何改变呢？
 

1 To Vote or Not to Vote (5.17)

Two candidates, D and R, are running for mayor in a town with n residents. A total of 0 < d < n residents support candidate D, while the remainder, r = n - d, support candidate R. The value for each resident for having his candidate win is 4, for having him tie is 2, and for having him lose is 0. Going to vote costs each resident 1.
a. Let n = 2 and d = 1. Write down this game as a matrix and solve for the Nash equilibrium.

b. Let n > 2 be an even number and let d = r = n/2 . Find all the Nash equilibria.

c. Assume now that the cost of voting is equal to 3. How does your answerto (a) and (b) change?

来源：Steven Tadelis － Game Theory. An Introduction  例题5.17

 

 

2 合资问题(5.13)

两个科技公司考虑进行合资。每一个公司 i 可以投资一个新的技术，并且选择投入程度xi ∈ [0, 5], 而投资的成本 ci(xi) = x42 i (可以把 xi 当作培训职员的时长或者实验室所需要的物资投入)。每个公司的经营取决于他的投入和另一个公司的投入。特别的是，当公司 i 和 j 选择了投入 xi 和 xj，那么公司 i 的总收入满足：……

2 Comparative Economics(5.13):

Two high-tech firms (1 and 2) are considering ajoint venture. Each firm i can invest in a novel technology and can choose a
level of investment xi ∈ [0, 5] at a cost of …

 

 

3. n 个企业的古诺模型

假定古诺的寡头垄断模型中有 n 个企业，令 qi 代表企业 i 的产量，且 Q = q1 + · · · + qn 表示市场总产量， p 表示市场出清价格，并假设反需求函数由 p(Q) = a-Q 给出 (设 Q < a，其他情况下 p = 0)。并设企业 i 生产出 qi 的总成本 Ci(qi) = cqi，即没有固定成本，且边际成本为常数 c，这里我们设 c < a。根据古诺的假定，企业同时就产量进行决策。
(a) 写出该博弈的模型，并求出该博弈的纳什均衡。
(b) 当 n 趋向于无穷时，将会发生什么情况?