知识点：求乘法逆元的几种方法

转自：http://www.cnblogs.com/james47/p/3871782.html

原文：

(数学渣，下面的文字可能有误，欢迎指教)
乘法逆元的定义貌似是基于群给出的，比较简单地理解，可以说是倒数的概念的推广。记a的关于模p的逆元为a^-1,则a^-1满足aa^-1≡ 1(mod p)

加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果，但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数，如果原本的结果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。

在mod p的运算中，a存在乘法逆元当且仅当a与p互质。一般题目给的是一个大质数，所以只要a不是p的倍数，就以求乘法逆元。

目前了解到的求法有三种：
1.扩展欧几里得。aa^-1≡ 1(mod p)，可以转换为aa^-1 + py = 1，即是扩展欧几里得所能解的ax + by = gcd(a, b)。最常用的解法。

int x, y;
int extgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int gcd = exgcd(b, a % b, x, y);
    int tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - (a/b) * y;
    return gcd;
}

/*
求解ax+by=gcd(a,b)，亦即ax≡1(mod b)。函数返回值是a,b的最大公约数，而x即a的逆元。
注意a, b不能写反了。
*/

 

2.由费马小定理a^(p-1)≡ 1(mod p)(p为素数)，稍作变形即是 aa^(p-2)≡ 1(mod p)，是不是发现了，a^(p-2)即是a的逆元，这个可以用快速幂来求。

3.网上看到的一个很厉害的o(n)的递推，求前n个逆元，不知道是怎么推出来的，但是可以简单地证明一下正确性(要求所mod p为素数)。

首先，1的逆元是1，没什么疑问。
假设前i个数的逆元已经求出，那么
i^-1 = (p%i)^-1 * (p - [p/i]) % p。其中[]表示去尾取整。
(p%i)^-1其实就是(p-[p/i]i)^-1，然后我们左右乘以i，
ii^-1 = (p-[p/i]i)^-1 * ((i-1)p + p-[p/i]i) % p，
其实就是ii^-1 = k^-1 * ((i-1)p + k) % p = 0 + 1 = 1，这样就证完了＝。＝

//字体真糟糕。。

int[] inv = new int[MAXN];
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i)
    inv[i] = inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;