二分图最佳匹配（KM算法）学习笔记

KM算法

学习这个之前先要了解几种二分图匹配的区别，这里就不说了，可以看看这篇博客

博客

先上道模板题：HDU 2255

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奔小康赚大钱

传说在遥远的地方有一个非常富裕的村落,有一天,村长决定进行制度改革：重新分配房子。
这可是一件大事,关系到人民的住房问题啊。村里共有n间房间,刚好有n家老百姓,考虑到每家都要有房住（如果有老百姓没房子住的话，容易引起不安定因素），每家必须分配到一间房子且只能得到一间房子。
另一方面,村长和另外的村领导希望得到最大的效益,这样村里的机构才会有钱.由于老百姓都比较富裕,他们都能对每一间房子在他们的经济范围内出一定的价格,比如有3间房子,一家老百姓可以对第一间出10万,对第2间出2万,对第3间出20万.(当然是在他们的经济范围内).现在这个问题就是村领导怎样分配房子才能使收入最大.(村民即使有钱购买一间房子但不一定能买到,要看村领导分配的).

Input

输入数据包含多组测试用例，每组数据的第一行输入n,表示房子的数量(也是老百姓家的数量)，接下来有n行,每行n个数表示第i个村名对第j间房出的价格(n<=300)。

Output

请对每组数据输出最大的收入值，每组的输出占一行。

Sample Input

2
100 10
15 23

Sample Output

123

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这题跟一般的二分图匹配的区别就是每条边都带了权值，我们不是要求算出最大匹配数，而是要求权值最大的匹配方案；

KM算法就是解决这方面问题的算法，个人觉得KM算法就是在匈牙利算法的基础上的一种改进版，区别不是很大；

#include
#define LL long long
#define pa pair
#define lson k<<1
#define rson k<<1|1
//ios::sync_with_stdio(false);
using namespace std;
const int N=310;
const int M=100100;
const LL mod=1e9+7;
int ma[N][N];//二分图边的权值
int sx,sy;//二分图左部、右部的顶点数
int fx[N],fy[N];//左部、右部所匹配的顶点 
int wx[N],wy[N];//左部、右部的顶标值
bool vx[N],vy[N];//左部、右部点是否加入了增广路
int mmin;//边权和顶标的最小差值 
bool find(int p){
	vx[p]=true;
	for(int i=1;i<=sy;i++){
		if(!vy[i]){
			int t=wx[p]+wy[i]-ma[p][i];
			if(t==0){
				vy[i]=true;
				if(fy[i]==-1||find(fy[i])){
					fy[i]=p;
					fx[p]=i;
					return true;
				}
			}
			else if(t>0){
				mmin=min(mmin,t);
			}
		}
	}
	return false;
}
int KM(){
	memset(fx,-1,sizeof(fx));
	memset(fy,-1,sizeof(fy));
	memset(wx,0,sizeof(wx));
	memset(wy,0,sizeof(wy));
	for(int i=1;i<=sx;i++){
		for(int j=1;j<=sy;j++){
			wx[i]=max(wx[i],ma[i][j]);//左部顶标值
		}
	}
	for(int i=1;i<=sx;i++){
		while(1){
			mmin=2e9;
			memset(vx,false,sizeof(vx));
			memset(vy,false,sizeof(vy));
			if(find(i)) break;//已经匹配正确
			for(int j=1;j<=sx;j++){
				if(vx[j]) wx[j]-=mmin;
			}
			for(int j=1;j<=sy;j++){
				if(vy[j]) wy[j]+=mmin;
			}
		}
	} 
	int sum=0;//最优匹配权值 
	for(int i=1;i<=sx;i++){
		if(fx[i]!=-1) sum+=ma[i][fx[i]];
	} 
	return sum;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	while(cin>>n){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++) cin>>ma[i][j];
		}
		sx=sy=n;
		cout<<KM()<<endl;
	} 
	return 0;
}

上面的复制度为O(n^4);

还有一种优化的方法：

复杂度为O（n^3）;

#include
#define LL long long
#define pa pair
#define lson k<<1
#define rson k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
//ios::sync_with_stdio(false);
using namespace std;
const int N=310;
const int M=100100;
const LL mod=1e9+7;
int ma[N][N];//二分图边的权值 
int sx,sy;//二分图左部、右部的顶点数
int fx[N],fy[N];//左部、右部所匹配的顶点 
int wx[N],wy[N];//左部、右部的顶标值
bool vx[N],vy[N];//左部、右部点是否加入了增广路
int mmin;//边权和顶标的最小差值 
int slack[N];//松弛函数 
bool find(int p){
	vx[p]=true;
	for(int i=1;i<=sy;i++){
		if(!vy[i]){
			int t=wx[p]+wy[i]-ma[p][i];
			if(t==0){
				vy[i]=true;
				if(fy[i]==-1||find(fy[i])){
					fy[i]=p;
					fx[p]=i;
					return true;
				}
			}
			else if(slack[i]>t) slack[i]=t;
		}
	}
	return false;
}
int KM(){
	memset(fx,-1,sizeof(fx));
	memset(fy,-1,sizeof(fy));
	memset(wx,0,sizeof(wx));
	memset(wy,0,sizeof(wy));
	for(int i=1;i<=sx;i++){
		for(int j=1;j<=sy;j++){
			wx[i]=max(wx[i],ma[i][j]);//左部顶标值
		}
	}
	for(int i=1;i<=sx;i++){
		memset(slack,inf,sizeof(slack));
		while(1){
			mmin=inf;
			memset(vx,false,sizeof(vx));
			memset(vy,false,sizeof(vy));
			if(find(i)) break;//已经匹配正确
			for(int j=1;j<=sy;j++){
				if(!vy[j]&&mmin>slack[j]) mmin=slack[j];
			}
			for(int j=1;j<=sx;j++){
				if(vx[j]) wx[j]-=mmin;
			}
			for(int j=1;j<=sy;j++){
				if(vy[j]) wy[j]+=mmin;
				else slack[j]-=mmin;
			}
		}
	} 
	int sum=0;//最优匹配权值 
	for(int i=1;i<=sx;i++){
		if(fx[i]!=-1) sum+=ma[i][fx[i]];
	} 
	return sum;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	while(cin>>n){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++) cin>>ma[i][j];
		}
		sx=sy=n;
		cout<<KM()<<endl;
	} 
	return 0;
}

这第二种方法反而比第一种慢，不知道是不是n太小了的原因；