二分图匹配——匈牙利算法
匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。
基本原则就是在原有匹配（最开始的按优先顺序匹配）基础上重新分配，看是否可以添加一个新的匹配。
预备知识
我们需要了解一下图论的一些知识。
1 无向图
边没有方向的图称为无向图。
定义
无向图G=
1.V是非空集合，称为顶点集。
2.E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集。
解释
直观来说，若一个图中每条边都是无方向的，则称为无向图。
（1）无向边的表示
无向图中的边均是顶点的无序对，无序对通常用圆括号表示。
【例】无序对(vi，vj)和(vj，vi)表示同一条边。
（2）无向图的表示
【例】下面(b)图中的G2和(c)图中的G3均是无向图，它们的顶点集和边集分别为：
V(G2)={v1，v2，v3，v4}
E(G2)={(vl，v2)，(v1，v3)，(v1，v4)，(v2，v3)，(v2，v4)，(v3，v4)}
V(G3)={v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7}
E(G3)={(v1，v2)，(vl，v3)，(v2，v4)，(v2，v5)，(v3，v6)，(v3，v7)}
（3）若G是无向图，则0≤e≤n(n-1)/2
恰有n(n-1)/2条边的无向图称无向完全图(Undirected Complete Graph)
注意：完全图具有最多的边数。任意一对顶点间均有边相连。
图1
与之对应的则被称为“有向图”。两者唯一的区别在于，有向图中的边是有方向性的。下图即是一个有向图，边的方向分别是：(1->2), (1-> 3), (3-> 1), (1->5), (2->3), (3->4), (3->5), (4->5), (1->6), (4->6)。要注意，图中的边(1->3)和(3->1)是不同的。有向图和无向图的许多原理和算法是相通的。
图2
2 二分图
二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
图3
简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。
二分图的性质及判定
无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。如果无回路（如图3就没有回路），相当于任一回路的次数为0，0也是偶数，故也视为二分图。
图4
见图4所示，其存在回路。如：1-4-2-5-1，长度为4，偶数。任意一种都为偶数（循环的周期回路也是偶数）。如果在1和2之前添一条边，那就不是二分图了，如下图。
图5
添了1--2的边后，回路就存在了1--4--2--1，长度为3，奇数，所以图3就不是二分图。这也违背了二分图的定义 ，定义中指出图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，但是很明显图5中1-2的边的两个顶点来自同一个点集。
3 二分图匹配
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
图中加粗的边是数量为2的匹配。
图6
最大匹配
选择边数最大的子图称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
图7所示为一个最大匹配，但不是完全匹配。图8是个完全匹配。
图7 图8
增广路径
也称增广轨或交错轨。设M为二分图G已匹配边的集合，若P是图G中一条联通两个未匹配顶点的路径，且属于M的边和不属于M的边在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。P的起点在X部，终点在Y部，反之亦可，路径P的起点终点都是未匹配的点。
增广路径是一条“交错轨”。也就是说, 它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且起点和终点还没有被选择过，这样交错进行,显然P有奇数条边，因为不属于匹配的边比匹配的边要多一条！。
图9
如图9，红边为三条已经匹配的边。从X部一个未匹配的顶点x4开始，找一条路径P：
x4y3-y3x2-x2y1-y1x1-x1y2
因为y2是Y部中未匹配的顶点，x4是X部中未匹配的顶点，且匹配的边和未匹配的边交替出现，故所找路径是增广路径P。
其中有属于匹配M的边为{x2,y3},{x1,y1} ，不属于匹配的边为{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}
可以看出：P有奇数条边，不属于匹配的边要多一条！
图10
如果从M中抽走{x2,y3},{x1,y1}，并加入{x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}，也就是将增广路所有的边进行”反色”,则可以得到四条边的匹配M’={{x3,y4}, {x4,y3},{x2, y1}, {x1,y2}} 。如图10所示，可知四条边的匹配是最大匹配，也是完全匹配。
容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对。
另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨。可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.
下面介绍单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨的情况。如在图11中，刚开始的时候，没有一个匹配的，此时进行匹配1-1,1和1相连就是一条增广路径（交错轨）。
图11
增广路径性质
由增广路的定义可以推出下述三个结论：
- P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M，因为两个端点分属两个集合，且未匹配（单独的一条连接两个未匹配点的边显然也增广路径）。
- P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
- M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
下面请出主角上场
匈牙利算法
用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出)
算法轮廓：
- 置M为空
- 找出一条增广路径P（先找出单个边的增广路径），碰到多个边的增广路径通过取反操作获得更大的匹配M’代替M
- 重复2操作直到找不出增广路径为止
找增广路径的算法
我们采用DFS（深度优先搜索）的办法找一条增广路径：
从X部一个未匹配的顶点Xi开始，找一个未访问的邻接点Yi（Yi一定是Y部顶点）。对于Yi，分两种情况：
如果Yi未匹配，这俩相连，则就算已经找到一条增广路（是单个边的增广路径）
如果Yi已经匹配，则取出yi的匹配顶点Xm(Xm一定是X部顶点)，边(Xm,Yi)目前是匹配的，根据“取反”的想法，要将(Xm,Yi)改为未匹配，(Xi,Yi)设为匹配，能实现这一点的条件是看从Xm为起点能否新找到一条增广路径P’。如果行，则Xi-Yi-P’就是一条以Xi为起点的增广路径。
然后取反，则(Xi,Yi)就匹配上了，总的匹配的边要多一条了。
X Y
图12
请先看图11，图11中红线表示的是未匹配的边（这就是置M为空），再看如图12所示，蓝线表示的是已匹配的边，这两个匹配的都是单个边的增广路径（在Y部分从上往下找）。因此X1，X2，都找到了单边的增广路径。接着该X3了，X3先从Y1下手，Y1已经和X1匹配了，这时看X1（这时把X1看为未匹配的点，因为增广路径的定义是，从起点为未匹配的点到终点为未匹配的点）能不能找到一条增广路径，显然从X1出发可以找到一条增广路径：X1Y2-Y2X2-X2Y3。这时就形成了新的增广路径：X3Y1-Y1X1-X1Y2-Y2X2-X2Y3。此时根据取反操作，则X3Y1、X1Y2、X2Y3，成为匹配边（3条）。比之前的两条匹配边多了一条。
匹配结果如图13所示，黄色是之前的匹配，蓝色是新的匹配。
图13
接下来是X4，X4因为找不增广路径（增广路径从未匹配起点出发，到未匹配点的终点），所以无法进行匹配。故最大匹配结果为：
图14
代码实现
下面的代码求的是最大匹配数量。
/**
*Copyright (c) 2019 Young Fan.All Right Reserved.
*Author: Young Fan
*Date: 2019.05.31
*IDE: Visual Studio 2017
*Description:
*/
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
using namespace std;
const int N = 505; //设置数组的大小
bool line[N][N]; //记录连接x和y的边，如果i和j之间有边则为1，否则为0
int result[N]; //记录当前与y节点相连的x的节点：i未加入匹配时为link[i]==0
bool used[N]; //记录y中节点是否使用
int k, m, n;
bool found(int x)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (line[x][i] && !used[i])
{
used[i] = true;
if (result[i] == 0 || found(result[i]))
{
result[i] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
int x, y;
printf("请输入相连边的数量k：\n");
while (scanf("%d", &k) && k) //当输入的k值大于0才可以往下执行。且可以循环输入k；输入时，用空格作为分隔符
{
printf("请输入二分图中x和y中点的数目：\n");
scanf("%d %d", &m, &n);
memset(line, 0, sizeof(line));
memset(result, 0, sizeof(result));
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("请输入相连边的两个点：\n");
scanf("%d %d", &x, &y);
line[x][y] = 1;
}
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
memset(used, 0, sizeof(used)); //置空操作
if (found(i)) sum++;
}
printf("%d\n", sum);
}
return 0;
} 匈牙利算法中的增广路径取反操作在代码实现的时候使用的是递归，递归一直往下找。在递归过程中，进行取反操作。
第29行代码：result[i] = x; 实际上就是取反操作。
我们以图11为例，进行代码测试。测试结果如下：
参考博客：
趣写算法系列之--匈牙利算法：
https://blog.csdn.net/dark_scope/article/details/8880547
二分图匹配——匈牙利算法和KM算法：
https://blog.csdn.net/c20180630/article/details/70175814
匈牙利算法——最大匹配问题详解：
https://blog.csdn.net/dengheCSDN/article/details/77619308
算法讲解：二分图匹配：
https://blog.csdn.net/thunderMrbird/article/details/52231639
匈牙利算法与增广路径：
https://blog.csdn.net/reid_zhang1993/article/details/44080167
二分图的定义和判定：
https://blog.csdn.net/li13168690086/article/details/81506044
图论（一）图：顶点，边，同构，有向/无向图，权重，路径（最短路径），环，连通图/连通分量：
https://blog.csdn.net/qq_30796379/article/details/80152270
应用：
[AI开发]基于深度学习的视频多目标跟踪实现：
https://www.cnblogs.com/xiaozhi_5638/p/9376784.html
匈牙利算法-指派问题
人数与工作数不等的指派问题
工作＜人数，增加虚拟工作；人数＜工作，增加虚拟工人。参考：https://blog.csdn.net/Wonz5130/article/details/80678410
指派问题（匈牙利算法）：https://www.cnblogs.com/ylHe/p/9287384.html
基于匈牙利算法的任务分配问题的python实现：https://blog.csdn.net/jingshushu1995/article/details/80411325
Hungarian algorithm：http://www.hungarianalgorithm.com/examplehungarianalgorithm.php