进出栈序列问题(卡特兰数+组合数的质因数分解求法)

题意：给定$1N$这$N$个整数和一个无限大的栈，每个数都要进栈并出栈一次。如果进栈的顺序为$1,2,\cdots ,N$，那么可能的出栈序列有多少种？
题解：先考虑搜索
$code:$

#include
using namespace std;
int n;
vector<int>state1;
stack<int>state2;
int state3=1,cnt=20;
void dfs()
{
    if(!cnt)return ;
    if(state1.size()==n){
        cnt--;
        for(auto &p:state1)cout<<p;
        cout<<endl;
        return ;
    }
    if(state2.size()){
        state1.push_back(state2.top());
        state2.pop();
        dfs();
        state2.push(state1.back());
        state1.pop_back();
    }
    if(state3<=n){
        state2.push(state3);
        state3++;
        dfs();
        state3--;
        state2.pop();
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    dfs();
    return 0;
}

但是数据范围如果是百万级别的话，搜索肯定是不行的，可以将出队序列转化成一个${}^{\prime }+{-}^{\prime }$序列，进栈为${}^{\prime }{+}^{\prime }$，出栈为${}^{\prime }{-}^{\prime }$，只要能够求出所有合理的${}^{\prime }+{-}^{\prime }$序列，之后通过将序列转化为图上的路径，所有序列最后都会走到$(n,n)$，不合理的序列通过适当转换都会走到$(n-1,n+1)$，所以卡特兰数就是$C(n,2\ast n)-C(n-1,2\ast n)$，适当化简为$\frac{C(n,2\ast n)}{N+1}$，到这里就算结束了，但是这个组合数的算法是个大坑，只有使用质因数分解法算才不会导致被T，质因数分解法，比如看公式$C(m,n)=\frac{n!}{m!(n-m)!}$，可以将上下都质因数分解，然后最后将剩余的质因数想乘就是答案了，这样比那种边乘边除节省了很多时间，边乘边除高精度最后会升的很大，这种数字只会依次递增而已。一个阶乘的质因数分解也是有公式的，比如$n!$中2的幂次，不是一位一位算的，公式是$\frac{n}{2}+\frac{n}{2^2}+\frac{n}{2^3}+\cdots$，然后就能做出整个题目了。
$code:$

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int N=120000+5;
int n,primes[N],cnt,st[N],powers[N];
void get_primes(int n)
{
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            primes[cnt++]=i;
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i){
                st[j]=1;
            }
        }
    }
}
int get(int n,int p)
{
    int s=0;
    while(n){
        s+=n/p;
        n/=p;
    }
    return s;
}
void multi(vector<ll> &a,int b)
{
    ll t=0;
    for(int i=0;i<a.size();i++){
        a[i]=a[i]*b+t;
        t=a[i]/100000000;
        a[i]=a[i]%100000000;
    }
    while(t){
        a.push_back(t%100000000);
        t/=100000000;
    }
}
void out(vector<ll> &a)
{
    printf("%lld",a.back());
    for(int i=a.size()-2;i>=0;i--)printf("%08lld",a[i]);
    printf("\n");
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    get_primes(n*2);
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        int p=primes[i];
        powers[p]=get(2*n,p)-get(n,p)*2;
    }
    int k=n+1;
    for(int i=0;i<cnt&&primes[i]<=k;i++){
        while(k%primes[i]==0){
            k/=primes[i];
            powers[primes[i]]--;
        }
    }
    vector<ll>res;
    res.push_back(1);
    for(int i=0;i<cnt;i++){
        for(int j=0;j<powers[primes[i]];j++){
            multi(res,primes[i]);
        }
    }
    out(res);
    return 0;
}