四元数(Quaternions)与旋转总结

1 四元数的表示

1.1 一般形式

• $$q=s+xi+yj+zks,x,y,z\in R$$
• $$i²=j²=k²=ijk=-1$$

1.2 有序对

• $$\begin{gathered} q=[s,v]或[s,xi+yj+zk]s,x,y,z\in R \\ 我们可以理解为s表示的实部，向量v表示的就是三维空间 \end{gathered}$$

2 四元数的乘法

• $$\begin{gathered} q_a=[s_a,a],q_a=[s_a,a] \\ {q}_a{q}_b=[s_a{s}_b-a\cdot b,s_{a}b+s_{b}a+a\times b] \end{gathered}$$

3 单位四元数

• $$\begin{gathered} s^2+x^2+y^2+z^2=1 \\ 即四元数模为1 \end{gathered}$$

4 共轭四元数

• $$q^{\ast }=[s,-v]=s-xi-yj-zk$$

5 四元数的逆

• $$q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{|q{|}^2}当q是单位向量时，q^{-1}=q^{\ast }$$

6 四元数与空间旋转

• $$若三维空间里的一个点p的笛卡尔坐标为(x,y,z),则用纯四元数表示为p=xi+yj+zk$$
• $$\begin{gathered} 旋转四元数的一般形式：q=[cos\frac{1}{2}\theta ,sin\frac{1}{2}\theta v] \\ 这个四元数表示某个旋转，是绕单位向量v进行了\theta 角度的逆时针旋转。 \end{gathered}$$
• $$点p经过旋转后的位置p^{\prime }=qp{q}^{-1}$$

7 总结

除了特别难理解之外，相比矩阵或欧拉角，四元数在表示旋转这个事情上，拥有一些明显的优点。

• SLERP和SQUAD，提供了一种使得在朝向之间可以平滑过渡的方法。
• 使用四元数来串联"旋转"，要比使用矩阵快得多。
• 对于单位四元数，逆向旋转可以通过对向量部分取反来实现。而计算一个矩阵的逆矩阵是被认为比较慢的，如果这个矩阵未被标准正交化的话(标准正交矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵)。
• 从四元数转换到矩阵，要比从欧拉角转换到矩阵快一点。
• 四元数只需要4个数字(如果旋转四元数已经单位化了那么只需要3个，实数部分可以在运行时计算)来表示一个旋转，而矩阵需要至少9个数字。

尽管使用四元数有这么多优点，还是有缺点存在的。

• 因为浮点数的舍入运算错误，四元数可能会变无效。不过，这个错误可以通过重新单位化四元数来避免。
• 使用四元数最具威慑性的地方，还是四元数的理解难度大。

8 旋转矩阵，欧拉角，四元数比较

参考《3D数学基础：图形与游戏开发》

• 旋转矩阵，欧拉角，四元数主要用于：向量的旋转、坐标系之间的转换、角位移的计算、方位的平滑插值计算。

不同的方位表示方法适用于不同的情况：

1. 欧拉角最容易使用。当需要为世界中的物体指定方位时，欧拉角能大大简化人机交互，包括直接键盘输入方位、在代码中指定方位(如为渲染设定摄像机)、在调试中测试。
2. 如果需要在坐标系之间转换向量，就选择矩阵形式。另一种方法是用欧拉角作为方位的“主拷贝“，但同时维护一个旋转矩阵，当欧拉角发生改变时，矩阵也要同时进行更新。
3. 当需要大量保存方位数据(如动画)时，就使用欧拉角或者四元数，欧拉角少占用25%内存，但是转换到矩阵慢。如果动画数据需要嵌套坐标系之间的连接，四元数可能是最好的选择。
   平滑插值只能用四元数。用其它形式则必须转到四元数，插值完毕再转回去。
   

9 参考博文

参考链接